2020届高考步步高数学(理)一轮复习(京津鲁琼用解析版)第八章 8.1

解 因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5， 所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.

又球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心， 也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，

所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，

设O′C＝r，OC＝R，

则球半径为R，截面圆半径为r，

OO′1在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝＝，

OC2r3

所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，

R2即R＝2

r， (*) 3又2r＝AC＝30?r＝15， 代入(*)得R＝103. 所以球的表面积为

S＝4πR2＝4π×(103)2＝1 200π. 4

球的体积为V＝πR3

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＝π×(103)3＝4 0003π. 3

16.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝23.

(1)求证：DE⊥平面ACD；

(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值． (1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形， ∴CD∥BE，BC∥DE.

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∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC. ∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C， DC，AC?平面ADC， ∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC. (2)解 ∵DC⊥平面ABC，DC∥BE， ∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中，AB＝4，EB＝23. 在Rt△ABC中，∵AC＝x， ∴BC＝16－x2(0

∴S△ABC＝AC·BC＝x·16－x2，

22∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝

2

2

2

3x·16－x2(0

2

x＋16－x?2

∵x(16－x)≤?2??＝64，

当且仅当x2＝16－x2，即x＝22时取等号， ∴当x＝22时，体积有最大值

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. 3

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