一轮复习配套讲义：第8篇 第6讲 双曲线

例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题． 【自主体验】

12x22

(2013·山东卷)抛物线C1：y＝2px(p>0)的焦点与双曲线C2：3－y＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝

( )．

3

A.16 43D.3

323

B.8 C.3

p?1?

解析 抛物线C1：y＝2px2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F?0，2?；双曲线

??x2231

C2：3－y＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±3x.由y′＝px，所以133?3p?

?p，?.由点F，F′，M三点共线可x＝，得x＝p，所以点M的坐标为

p336??343求p＝3. 答案 D

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

y2

1．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x－24＝1的两个焦点，P是双曲线上的

2

一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )． A．42 B．83 C．24 D．48

πx2y2y2x22．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜4，则双曲线C1：sin2θ－cos2θ＝1与C2：cos2θ－sin2θ

＝1的( )．

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

x2y2

3．(2014·日照二模)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )． x2y2x2y2

A.5－20＝1 B.25－20＝1 x2y2x2y2

C.20－5＝1 D.20－25＝1

y2

4．双曲线x－m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．

2

1

A．m＞2 B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2

x2y2

5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个5

焦点到一条渐近线的距离为3c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )．

35355A.2 B.2 C.2 D.2 二、填空题

6．(2014·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．

x2y27．(2014·广州一模)已知双曲线9－a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．

x2y2y2x28．(2014·武汉诊断)已知双曲线m－3m＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆n－m＝1的焦距等于4，则n＝________.

三、解答题

x2y2

9．已知椭圆D：50＋25＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

x2y2

1．(2014·焦作二模)直线y＝3x与双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于( )．

A.3＋2 B.3＋1 C.2＋1 D．22

解析 由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．

又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，

∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°， ∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝3c， 由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝3c－c＝2a， c

∴e＝a＝3＋1. 答案 B

x2y2

2．(2014·临沂联考)已知点F是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )． A．(1,2) B．(2，2) C．(3，2) D．(2,3)

解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠π

AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<4即可．直线AB的方程为x＝－c，代入

242bbb??

双曲线方程得y2＝a2，取点A?－c，a?，则|AF|＝a，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|

??

πb2

就能使∠AEF<4，即a1，故1