一轮复习配套讲义：第8篇 第6讲 双曲线

第6讲 双曲线

[最新考纲]

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.

知 识 梳 理

1．双曲线的定义

平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 范 围 对称性 顶点 渐近线 性 离心率 质 实虚轴 a，b，c的关系

辨 析 感 悟

1．对双曲线定义的认识

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)

x2y2y2x2a2－b2＝1(a>0，b>0) a2－b2＝1(a>0，b>0) x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) bay＝±x y＝±abx ce＝a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解

x2y2

(3)方程m－n＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)

y2x2

(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为51，则C的渐近线方程为y＝±22x.(×)

x2y25(5)(2013·陕西卷改编)双曲线16－m＝1的离心率为4，则m等于9. (6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×) [感悟·提升]

1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．

x2y2b2．二个防范 一是双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±ax，而双b?y2x2a?即x＝±?曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±，应注意其区别与ay?bx??联系，如(4)；

二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．

考点一 双曲线的定义及应用

x2y2

【例1】 (1)若双曲线4－12＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是

( )．

(√)

A．4 B．12 C．4或12 D．6

x2y2

(2)已知F为双曲线C：9－16＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上， 则△ PQF的周长为________．

解析 (1)由题意知c＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，右焦点为

F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12. x2y2

(2)由9－16＝1得a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝4b＝16>2a.

又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上， 且PQ所在直线过双曲线的右焦点，

?|PF|－|PA|＝2a＝6，

由双曲线定义知?∴|PF|＋|QF|＝28.

?|QF|－|QA|＝2a＝6，∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44. 答案 (1)C (2)44

规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．

x2y2【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P是双曲线16－20＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝

( )．

A．1

B．17 C．1或17

D．以上答案均不对

x2y2

(2)已知F是双曲线4－12＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右 支上的动

点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ( )．

A．5 B．5＋43 C．7 D．9

解析 (1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17. (2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，

则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min

＝|AE|＝5，

从而|PF|＋|PA|的最小值为9. 答案 (1)B (2)D

考点二 求双曲线的标准方程

x2y2x2y2

【例2】 (1)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆16＋9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为

________．

x2y27

解析 (1)椭圆16＋9＝1的焦点坐标为F1(－7，0)，F2(7，0)，离心率为e＝4.x2y2x2y2

由于双曲线a2－b2＝1与椭圆16＋9＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.

a2＋b27727

又双曲线的离心率e＝a＝a，所以a＝4，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，x2y2

故双曲线的方程为4－3＝1.

x22x22

(2)设与双曲线2－y＝1有公共渐近线的双曲线方程为2－y＝k，将点(2，－2)22

代入得k＝2－(－2)2＝－2. y2x2

∴双曲线的标准方程为2－4＝1. x2y2y2x2

答案 (1)4－3＝1 (2)2－4＝1

规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方x2y2

程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为a2－b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.

【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．