弹塑性力学习题集（有图）

弹塑性力学习题

第二章 应力理论·应变理论

2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm的圆杆，在轴向拉力P = 10KN的作用下杆横截面上的正应力?及与横截面夹角??30?的斜截面上的总应力P?、正应力??和剪应力??，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。

2—2 试用材料力学公式计算：题2—2图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位MPa），并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。

题2—2图 题2—3图

2—3 求题2—3图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为MPa），并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。

2—4 已知平面问题单元体的主应力如题2—4图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为MPa。试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。

题2—4图

2—5* 如题2—5图，刚架ABC在拐角B点处受P力，已知刚架的EJ，求B、C点的转角和位移。（E为弹性模量、J为惯性矩）

2—6 悬挂的等直杆在自重W的作用下如题2—6图所示。材料比重为?，弹性模量为E，横截面积为A。试求离固定端z处一点c的应变?z与杆的总伸长?l。

2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量E、剪切弹性模

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量G、泊松比v之间的关系：

题2—5图

题2—6图

G?E

2(1?v)2—8 用材料力学方法试求出如题2—8图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。

题2—8图

2—9 已知一点的应力张量为：

5080??50?MPa?ij??0?75 ????30??(对称)?试求外法线n的方向余弦为：nx?应力??和剪应力??。

2—10 已知物体的应力张量为：

30?80??50?ij??0?30? ??MPa

?110??(对称)?试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力P?，正应力??和剪应力??。

2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。

2—12 试写出下列情况的应力边界条件。

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111，ny?，nz?的微斜面上的全应力P?，正

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题2—12图

2—13 设题2—13图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端C处于零应力状态。

题2—13图 题2—14图

2—14* 如题2—14图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷P作用，试确定杆体两侧外表面处应力?z（横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽略的应力?x、?zx之间的关系。

2—15 如题2—15图所示三角形截面水坝，材料的比重为?，水的比重为?1，已求得其应力解为：?x?ax?by,

?y?cx?dy??y,?xy??dx?ay，其它应力分量为零。试根据

直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。

2—16* 已知矩形截面高为h，宽为b的梁受弯曲时的正

My12M应力?z?试求当非纯弯时横截面上的剪应力公?y，3Jbh式。（利用弹塑性力学平衡微分方程） 题2—15图

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?1260??2—17 已知一点处的应力张量为：?ij???6100?MPa，试求该点的最大主应力及

??000??其主方向。

2—18* 在物体中某一点?x??y??z??xy?0，试以?yz和?zx表示主应力。

2—19 已知应力分量为?x??y??z??xy?0,?yz?a,?zx?b,计算主应力?1、?2、?3，并求?2的主方向。

2—20 证明下列等式：

12(1) J2?I2?I1 ;

31(3) I2??(?ii?kk??ik?ik);

2?J2?Sij; (5) ?Sij2—21* 证明等式：J3?(2) J3?I3?(4) J2?(6)

123I1I2?I1; 3271SijSij; 2?J2?Sij. ??ij1SikSkmSmi。 32—22* 试证在坐标变换时，I1为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用张量计算证明。

?538???2—23 已知下列应力状态：?ij??303?MPa，试求八面体单元的正应力?8与剪

??8311??应力?8。

2—24* 一点的主应力为：?1?75a,?2?50a,?3??50a，试求八面体面上的全应力P8，正应力?8，剪应力?8。

2—25 试求各主剪应力?1、?2、?3作用面上的正应力。

2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)图中有虚线所示的剪应力??时，能否应用平面应力圆求解。

题2—26图

2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC微截面与x、y、z轴等倾斜，但?xy?0,?yz?0,?zx?0,试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的?8指向是否垂直棱边？

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