成考专起点升本数学（二）第二章+一元函数微分学 - 图文

7．函数的最大值和最小值

如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则它在此区间上必定存在最大值M和最小值m． 这里要注意，最值和极值是有区别的．极值的概念是局部概念，是对函数的某个领域的函数值而言，极值只在函数定义区间的内点处达到，而且有可能极小值大于极大值．但是最大值和最小值分别是函数在[a，b]上的最大值和最小值，它有可能在区间中的驻点或一阶导数不存在的点达到，也可能在区间端点达到．

设函数f(x)为定义在[a，b]上的连续函数，则最大值和最小值的求法可按如下步骤进行： (1)求出f(x)的导数f'(x)；

(2)求出驻点及一阶导数不存在的点；

(3)计算出对应于上一步中各点及区间端点的函数值；

(4)比较各函数值的大小，最大者为函数的最大值，最小者为函数的最小值． 注意 有以下两种特殊情况：

(1)如果函数在[a，b]上单调，那么f(a)和f(b)中之一是f(x)在[a，b]上的最大值，另一 (2)如果连续函数f(x)在区间(a，b)内仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在区间[a，b]上的最大值． 典型例题

例一、选择题

1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是( )

答：A

2．以下结论正确的是( )

答：C

3．下列函数中在区间[-2，2]上满足罗尔定理条件的是( )

答：B

4．下列求极限的问题中，能用洛必达法则的是( )

答：B

5．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，a＜x1＜x2＜b，则下式中不一定成立的是( )

答：C

6．f'(x0)=0是函数f(x)在点x0取得极值的( ) A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

分析：导数为零的点x= x0，不一定是极值点，注意到另一方面，函数的极值点的导数不一定为零，也可能是导数不存在的点．可见，函数在一点导数为零，既不是该点为函数极值的点的充分条件，也不是必要条件，故选择D．

注意 如果假设f(x)的导数一定存在，f'(x0)=0是x=x0为极值点的必要条件．

答：D 7．

A．增加且凹(上凹)的 B．增加且凸(下凹)的 C．减少且凹(上凹)的 D．减少且凸(下凹)的

答：C 8．

A．上升且向下凹的 B．上升且向上凹的 C．下降且向下凹的 D．下降且向上凹的

答：B 9．

下列函数在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是( )

答：C 10．