三角形中位线中的常见辅助线

2. 已知：在?ABC中，BC?AC，动点D绕?ABC的顶点A逆时针旋转，且AD?BC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，求证： ?AMF??BNE

（2）当点D旋转到图2中的位置时，?AMF与?BNE有何数量关系？请证明．

MD

CFNMDF(N)C

BA

EBAE

【例3】 如图，在五边形ABCDE中，?ABC??AED?90?，?BAC??EAD，F为CD的中点．求证：

BF?EF．

ABECFD

举一反三

1.如图所示，在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF．过E、 F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证： （1）?DEM≌?FDN； （2）?PAE??PBF．

CADBEMNFP

3. 已知：在?ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM?PN

AMPBNC

4. 如图所示，已知?ABD和?ACE都是直角三角形，且?ABD??ACE?90?，连接DE，设M为DE的中点．

（1）求证MB?MC．

（2）设?BAD??CAE，固定Rt?ABD，让Rt?ACE移至图示位置，此时MB?MC是否成立？请证明你ACEMDBAECM

DB

的结论．

5. 在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME

（1）如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是

（2）如图2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED的形状．

ADEBMC图1

ADEBMC 图2

ABMC 图3

图