三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线

知识梳理 知识点一 中点

一、与中点有关的概念

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半

斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形

二、与中点有关的辅助线

方法一：倍长中线

解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

方法二：构造中位线

解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一

解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口

其他位置的也要能看出

方法四：构造斜边中线

解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

其他位置的也要能看出

常见考点

构造三角形中位线

考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角

三角形斜边中点或其他线段中点;

②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．

典型例题

【例1】 已知：AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，且AB?BD，求证：AC?2AE．

BEDCA

举一反三

1. 如右下图，在?ABC中，若?B?2?C，AD?BC，E为BC边的中点．求证：AB?2DE．

A

BDEC

2. 在?ABC中，?ACB?90?，AC?且AE?BE．

1BC，以BC为底作等腰直角?BCD，E是CD的中点，求证：AE?EB2ECDAB

【例2】 已知四边形ABCD的对角线AC?BD，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD于M、N，求证：∠AMN?∠BNM．

ABFCEMND

举一反三

1. 已知四边形ABCD中，AC?BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：?GMN??GNM．

DEAGNMFCB