第三章 章末检测(三) 空间向量与立体几何 答案

→

系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1是平面A1BD的一个法向量．

→→

AC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)． 1＋16→→

cos〈AC1，BC1〉＝＝3.

3×2

6

所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为3. 6

答案：3 ?11?

16.解析：建立坐标系如图，则B(1，1,0)，O?2，2，1?，

??→

DA1＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量． →?11?又OB＝?2，2，－1?，

??

∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为 →→

|cos〈OB，DA1〉|

1

→→

2|OB·DA1|3

＝＝＝6. →→6|OB|·|DA1|

2×23

答案：6 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．解析：∵E，H分别是AB，AD的中点， →1→→1→∴AE＝2AB，AH＝2AD. →→→1→1→∴EH＝AH－AE＝2AD－2AB 1→→＝2(AD－AB) 1→1→→＝2BD＝2(CD－CB)

5

1?5→5→?＝2?2CG－2CF? ??5→→?5→＝4??CG－CF?＝4FG. →→→→∴EH∥FG且|EH|≠|FG|. ∴四边形EFGH是梯形．

18证明：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，以A为坐标原点建立如图所示的空间?111?直角坐标系A-xyz，则各点坐标为B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E?2，2，2?.

??设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)， →→?111?又BD＝(－1,1,0)，BE＝?－2，2，2?，则

??→

?n1⊥BD?→?n1⊥BE

→?n1·BD＝－x＋y＝0，??→111

n·BE＝－1?2x＋2y＋2z＝0，

令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)． ∵AS⊥底面ABCD，

→

∴平面ABCD的一个法向量为n2＝AS＝(0,0,1)． ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.

19．解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，P(0,0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)， 设Q(0,2，z)(0≤z≤2)， →

那么OP＝(－1，－1,1)， →

BD1＝(－2，－2,2)，

→→

∴OP∥BD1，又B?OP，∴OP∥BD1. →→

又AP＝(－2,0,1)，BQ＝(－2,0，z)， →→

显然当z＝1时，AP∥BQ，∵B?AP， ∴AP∥BQ，此时平面AOP∥平面D1BQ.

6

∴当Q为CC1的中点时，平面AOP∥平面D1BQ. 20．解析：(1)证明： ∵E，F分别是DD1，DA1的中点， ∴EF∥A1D1.

又A1D1∥B1C1∥BC，

∴EF∥BC，且EF?平面A1BC，BC?平面A1BC， ∴EF∥平面A1BC.

(2)∵AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设BC＝1.

则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0，2,2)，F(0,1,1)，E(0,2,1)， →

∴FE＝(0,1,0)，设平面A1CD的法向量n＝(x，y，z)，则 →?n·A1D＝?x，y，z?·?0，2，－2?＝2y－2z＝0，?→?n·CD＝?x，y，z?·?－2，1，0?＝－2x＋y＝0，取n＝(1,2,2)，

?→?

n·FE??1×0＋2×1＋2×0?2→??＝， 则sin θ＝|cos〈n，FE〉|＝?＝?

→??1＋4＋40＋1＋0?3?|n||FE|?2

∴直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值等于3. 21．解析：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. 2

(2)由AC＝CB＝2AB得， AC⊥BC.

→

以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设CA＝2，

→→→

则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

7

→?n·CD＝0，则?→?n·CA1＝0，

?x1＋y1＝0，

即?

2x＋2z＝0.?11

可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量， →

?m·CE＝0，则?→?m·CA1＝0.

?2y2＋z2＝0，

即? ?2x2＋2z2＝0，

可取m＝(2,1，－2)．

n·m36

从而cos〈n，m〉＝|n||m|＝3，故sin〈n，m〉＝3. 6

即二面角D-A1C-E的正弦值为3.

22．解析：(1)∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点， ∴A1O⊥AC.

又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O?平面A1AC， ∴A1O⊥平面ABC.

(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，3)， A(0，－1,0)．

→

∴A1C＝(0,1，－3)，

令平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，

→→→→则n·AA1＝n·AB＝0，而AA1＝(0,1，3)，AB＝(1,1,0)，可求得一个法向量n＝(3，－3，3) ∴

→

A1C，n

→|n·A1C|621＝＝＝7，故直线A1C与平面A1AB所成角的

→2×21|n|·|A1C|

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