第三章 章末检测(三) 空间向量与立体几何 答案

章末检测(三) 空间向量与立体几何 时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．解析：ka－b＝k(－1,0,1)－(1,2,3)＝(－k－1，－2，k－3)，若ka－b与b垂直， 则(ka－b)·b＝0，

即(－k－1)－4＋3(k－3)＝0，解得k＝7. 答案：A

2．解析：∵ma＋b＝m(－2,3,2)＋(1，－5，－1) ＝(－2m＋1,3m－5,2m－1)，

2a－3b＝2(－2,3,2)－3(1，－5，－1)＝(－7,21,7)． ∵(ma＋b)⊥(2a－3b)?(ma＋b)·(2a－3b)＝

170?－7(－2m＋1)＋21(3m－5)＋7(2m－1)＝0?m＝13. 答案：B

→1——→1——→1

3.解析：MN＝2BB′＝2AA′＝2a. 答案：D

→

4．解析：设P(x，y，z)则AP＝(x－1，y－2，z－1)， →

PB＝(－1－x,3－y,4－z)，

18→→

由AP＝2PB知x＝－3，y＝3，z＝3， ?18?即P?－3，3，3?.

??

77→

由两点间距离公式可得|PD|＝3. 答案：C

5.解析：∵E为AC，BD的中点， →1→→

∴由中点公式得PE＝2(PA＋PC)， →1→→PE＝2(PB＋PD)．

1

→→→→→

∴PA＋PB＋PC＋PD＝4PE.从而x＝4. 答案：C

6．解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)， ∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02 ?1?29

＝5t－2t＋2＝5?t－5?＋5. ??

2

9

∴|b－a|2＝min

5. 35

∴|b－a|min＝5. 答案：C

7．解析：∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb， 即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2) ＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，

?

所以?－x＋4y＝5，

?3x－2y＝λ.

65

∴λ＝3x－2y＝7. 答案：D

2x－y＝7，

33x＝??7，解得?17

y＝??7.

8．解析：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为2. →

可知CM＝(2，－2,1)， →

D1N＝(2,2，－1)． 1→→

cos〈CM，D1N〉＝－. 945→→

∴sin〈CM，D1N〉＝9. 答案：A

9．解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)，

2

→→

所以BD1＝(－2，－2,3)，AC＝(－2,2,0)， →→BD1·AC→→

所以cos〈BD1，AC〉＝＝0，

→→|BD1|·|AC|故选A. 答案：A

10．解析：∵l⊥α，

∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量． 21m

∴1＝1＝2. 2∴m＝4. 答案：C

11．解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.

据题意知AE⊥CD.

AE＝BF＝3，EF＝2，AB＝13. →→

且〈EA，FB〉为二面角的平面角， →→→→

由AB2＝(AE＋EF＋FB)2得

→→

13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈AE，FB〉， 1→→

∴cos〈EA，FB〉＝－2. →→

∴〈EA，FB〉＝120°. 即所求的二面角为120°. 答案：C

12.解析：以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AE＝m. D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1，0,0)，B(1,2,0)，E(1，m,0)，C(0,2,0)

3

可取平面ABCD的一个法向量n1＝(0,0,1)， 设平面PEC的法向量为n2＝(a，b，c)， →

PC＝(0,2，－1)， →

CE＝(1，m－2,0)， →?n2·PC＝0，则?→?n2·CE＝0.

?2b－c＝0，∴? ?a＋b?m－2?＝0，?c＝2b，∴? ?a＝b?2－m?，

令b＝1得n2＝(2－m,1,2)． n1·n2cos〈n1，n2〉＝|n|·

|n|＝

1

2

22

＝. 22?2－m?＋1＋4

∴m＝2－3.即AE＝2－3. 答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) →→→→→→——→→

13．解析：①AB－CB＝AB＋BC＝AC，正确；②显然正确；③AB＋BB′＋BC＋——→→→→→→→

C′C＝(AB＋BC)＋(BB′＋C′C)＝AC＋0≠AC′，错误． 答案：①②

m·n

14．解析：∵cos〈m，n〉＝|m|·

|n| －1×3＋2×0＋0×?－2?365＝＝－.

655×13365365

∴二面角的余弦值为－65或65. 365365

答案：－65或65

15．解析：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

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