《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1配套备课资源3.1.3

3.1.3 两个向量的数量积

一、基础过关

1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的 A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

→→2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AE·CF等于( ) A．0

1

B. 2

3C．－

4

1D．－

2

( )

( )

3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于 A.97 B．97 C.61

D．61

4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 A．30° B．60° C．120°

D．150°

( )

π

5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.

3二、能力提升

6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 A．30°

( )

B．45° C．60° D．90°

7．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是 A．2

( )

B.3 C.5 D.7

8．如果e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为________．

9．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角是________． 三、解答题

10.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC， 1AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．

2

11．在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．

12.已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. 三、探究与拓展

13.如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的 经过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等．求证：AB⊥ 平面α.

答案

1．A 2．D 3．C 4．C 5.7

6．C 7．C 8．120° 9．60°

10．解 由题意知|PB→

|＝2，

|CD→|＝2，PB→＝→PA＋AB→，DC→＝DA→＋AB→＋BC→， ∵PA⊥平面ABCD，

∴→PA·DA→＝→PA·AB→＝→PA·BC→＝0， ∵AB⊥AD，∴AB→·DA→＝0， ∵AB⊥BC，∴AB→·BC→＝0， ∴PB→·DC→＝(→PA＋AB→)·(DA→＋AB→＋BC→) ＝AB→2＝|AB→

|2＝1， 又∵|PB→|＝2，|CD→

|＝2，

∴cos〈PB→，DC→

〉＝PB→·DC→＝1＝1，|PB→||DC→|2×22

∴〈PB→，DC→

〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°. 11．解

∵PC→＝→PA＋AD→＋DC→， ∴|PC→|2＝PC→2＝(→PA＋AD→＋DC→)2

＝|→PA|2＋|AD→|2＋|DC→|2＋2→PA·AD→＋2→PA·DC→＋2AD→·DC→ ＝62＋42＋32＋2|AD→||DC→

|cos 120°＝61－12＝49， ∴|PC→

|＝7，即PC＝7.

12．证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

→→→→→

∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵OA·BC＝OA·(OC－OB) →→→→＝OA·OC－OA·OB

→→→→

＝|OA||OC|cos∠AOC－|OA||OB|cos∠AOB＝0， →→

∴OA⊥BC，∴OA⊥BC.

→→→

13．证明 如图所示，在直线BC、BD、BE上取|BC|＝|BD|＝|BE|.

∵AB→与BC→、BD→、BE→

所成的角相等， ∴AB→·BC→＝AB→·BD→＝AB→·BE→， ?→?BC→－BD→∴??AB·?＝0，??AB→·?BE→－BD→

?＝0，

?→→即??AB·DC＝0，??AB→

·DE→＝0，

∴AB⊥DC，AB⊥DE.

又DC∩DE＝D，∴AB⊥平面α.