齐鲁名校教科研协作体2018届高考冲刺模拟（三）数学（理）试卷（含答案）

11115P(X?1)??(1?)?(1?)??，

343412111P(X?2)???，……………………（10分）

3412所以X的分布列如下表： X P 所以E(X)?0?0 1 2 1 25 121 121517。………（12分） ?1??2??2121212xix．【解析】(1)在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，………（1分）

又AA1⊥BC，AB∩BC=B，

∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC．………（2分） 又A1A=AC，∴A1C⊥AC1． 又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1， ∴A1C⊥平面ABC1 ，

又A1C?平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1．………（4分）

图1

(2)解法一 当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图1，取A1A的中点F，连接EF，FD，∵EF∥AB，DF∥AC1， 又EF∩DF=F，AB∩AC1=A， ∴平面EFD∥平面ABC1，

则有DE∥平面ABC1．………（6分）

以 A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1=AC=2AB=4，

uuur∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C1(0，4，4)，C(0，4，0)，E(2，0，2)，A1(0，0，4)，由(1)知，AC1=(0，

4，?4)是平面ABC1的一个法向量．………（7分） 设n=(x，y，z)为平面AC1E的法向量，

uuuuruuur∵AC1=(0，4，4)，AE=(2，0，2)，

uuuur??4y?4z?0?n?AC1?0∴?uuu ，即， r??2x?2z?0??n?AE?0令z=1，则x=?1，y=?1，

∴n=(?1，?1，1)为平面AC1E的一个法向量．………（10分）

uuur0?4?46设AC与n的夹角为θ，则cos θ==?，由图知二面角E?AC1?B为锐角，∴二面133?42角E?AC1?B的余弦值为6．……12分 3

图2

解法二 当E为BB1的中点时，连接DE，如图2，设A1C交AC1于点G，连接BG，DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG为平行四边形，

则DE∥BG，又DE?平面ABC1，BG?平面ABC1，则DE∥平面ABC1．

求二面角E?AC1?B的余弦值同解法一．

x2y23xx．（1）Q 2a?4，?a?2，点P(1,)代入2?2?1 有：b2?3

ab2x2y2??1 ………4分 椭圆方程为：43（2）存在定点D(4,0)满足条件：

?x?my?t?设D(t,0)，直线l方程为x?my?t，联立?x2y2

?1??3?4消x有(3m?4)y?6mt?y?3t?12?0 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则E(x2,?y2)

222?6mt?y?y?12??3m2?4，且??0 ……… 6分 ?2?yy?3t?12?123m2?4?由A、F、E三点共线有：

(x2?1)y1?(x1?1)y2?0?2my1y2?(t?1)(y1?y2)?0 ……… 8分

3t2?12?6mt?(t?1)?2?0 ?2m?23m?43m?4t?4 ………11分

?存在定点D(4,0)满足条件. ………12分

xxi．解：（1）f'(x)?x?m?cosx ……… 1分 由于f(x)在[0,1]上递增得x?m?cosx?0在[0,1]上恒成立 即m?cosx?x在[0,1]上恒成立 ………2分 令g(x)?cosx?xx?[0,1]，则g'(x)??sinx?1?0

故g(x)在[0,1]上递减，于是gmax?g(0)?1，故有m?1 ……… 4分

（2）f'(x)?x?m?cosx,f''(x)?1?sinx?0?f'(x)在?0,1?上递增，又

f'(0)?m?1?0，f'(1)?1?m?cos1?0故唯一x0??0,1?，使得f(x)在?0,x0?上递减，在?x0,1?上递增。 ……… 6分

?fmin?12x0?mx0?sinx0且m=cosx0?x0 21212x0?x0(cosx0?x0)?sinx0??x0?x0cosx0?sinx0 ……… 8分 2212x?xcosx?sinx 则h'(x)??x?cosx?xsinx?cosx 2?fmin?令h(x)?? ??x?xsinx?0

?h(x)在?01，?上递减 ……… 10分

当0?m?1时，由y?cosx?x递减知 0?x0???1 故fmin?h(?)?h(1)??1?cos1?sin1 2即fmin??1?1?3?2sin(1?)???2sin?? 2421223?0在?0，1?上恒成立。 23?0无实根。 ……… 12分 2从而有fmin?故0?m?1时，f(x)?3??x?cos?(?为参数）xxii．（1）曲线C的参数方程?，直线l的普通方程2x?y?11?0…5分 2??y?4sin?（2）曲线C上任意一点P(cos?,4sin?)到直线l的距离为d?3253cos??4sin??11 5即d?545sin(???)?11，其中?为锐角，且tan?? ………8分 53 当sin(???)??1时，最大值为16565；当sin(???)?1时，最小值为 ………10分 55xxiii．（1）当a?0，由f(x)?g(x)得2x?1?x，两边平方得(3x?2)(x?2)?0，所以所求不等式的解集为?xx??2,或x??? ………5分

??2?3?（2）由f(x)?2g(x)，得2x?1?a?2x；即存在x?R，使得2x?1?2x?a成立。 因为x?1?x?1，所以a?2。 ………10分