数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章 微分中值定理及其应用

一、填空题

3ax?bx?x??lim1．若a?0,b?0均为常数，则

x?0??2．若lim2??________。

??1?acosx?bsinx1?，则a?______，b?______。

x?0x23．曲线y4．设y??ex在x?0点处的曲率半径R?_________。

4x?4?2，则曲线在拐点处的切线方程为___________。 x21x)x5．limx?0(1??ex?___________。

6．设f(x)?x(x2?1)(x?4)，则f?(x)?0有_________个根，它们分别位于________

区间；

7．函数f(x)?xlnx在?1,2?上满足拉格朗日定理条件的??__________； 8．函数f(x)?x3与g(x)?1?x2在区间?0,2?上满足柯西定理条件的??_____； 9．函数y?sinx在?0,2?上满足拉格朗日中值定理条件的??____；

ex10．函数f(x)?2的单调减区间是__________；

x11．函数y?x3?3x的极大值点是______，极大值是_______。

12．设f(x)?xex，则函数f(n)(x)在x?_______处取得极小值_________。 13．已知f(x)?x3?ax2?bx，在x?1处取得极小值?14．曲线y?k(x2?3)2在拐点处的法线通过原点，则k15．设

n??2，则a?_______，b?_____。

?________。

f(x)?n?(1?x)n(n?1,2?)，Mn是

f(x)在

?0,1?上的最大值，则

limMn?___________。

16．设f(x)在x0可导，则f?(x0)?0是f(x)在点x0处取得极值的______条件；

217．函数f(x)?alnx?bx?x在x?1及x?2取得极值，则a?___,b?___；

318. 函数f(x)?x?x3的极小值是_________;

219．函数f(x)?2lnx的单调增区间为__________； x20. 函数f(x)?x?2cosx在?0,

???

上的最大值为______，最小值为_____； ?2??

21. 设点(1,2)是曲线y?(x?a)3?b的拐点,则a?_____,b?______; 22. 曲线y?ex的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;

23. 曲线y?3x2?x3的上凹区间为________; 24. 曲线y?ln(1?x2)的拐点为__________; 25．曲线y?lnx在点______处曲率半径最小。 26．曲线y?xln(e?二.选择填空 1．曲线y5?(x?5)31)的渐近线为__________。 x?2的特点是( )。

A.有极值点x?5，但无拐点 B.有拐点(5,2)，但无极值点 C.x?5是极值点，(5,2)是拐点 D.既无极值点，又无拐点 2．奇函数f(x)在闭区间

??1,1?上可导，且f'(x)?M，则( )。

A.f(x)?M B.f(x)?M C.f(x)?M D.f(x)?M 3．已知方程x2y2?y?1(y?0)确定y为x的函数，则( )。 A.y(x)有极小值，但无极大值 B.y(x)有极大值，但无极小值 C.y(x)即有极大值又有极小值 D.无极值

4．若f(x)在区间[a,??)上二阶可导，且f(x)?A?0，f'(a)?0,f??(x)?0 则方程f(x)?0在

(x?a)，

?a,???内( )

f(x)?2，则在x?0处f(x)( )。

x?01?cosxA.没有实根 B.有两个实根 C.有无穷多个实根 D.有且仅有一个实根 5．已知

f(x)在x?0处某邻域内连续，limA.不可导 B.可导且f'(0)?2 C.取得极大值 D.取得极小值

6．设函数f(x)在区间?1,???内二阶可导，且满足条件f(1)?f?(1)?0，

x?1时

f??(x)?0，则g(x)?f(x)在?1,???内( ) xA．必存在一点?，使f(?)?0 B．必存在一点?，使f?(?)?0 C．单调减少 D. 单调增加

7．设f(x)有二阶连续导数，且f?(0)?0，limx?0f??(x)?1，则( ) xA．f(0)是f(x)的极大值 B.f(0)是f(x)的极小值 C．?0,f(0)?是曲线y?D．

f(x)的拐点

f(0)不是f(x)的极值，?0,f(0)?也不是曲线y?f(x)的拐点

8．若f(x)和g(x)在x?x0处都取得极小值，则函数F(x)?f(x)?g(x)在x?x0处( )

A．必取得极小值 B.必取得极大值 C.不可能取得极值 D.是否取得极值不确定

9．设y?y(x)由方程x3?ax2y2?by3?0确定，且y(1)?1，x?1是驻点，则( ) A.a?b?3 B.a?3531,b? C.a?,b? D.a??2,b??3 222210．曲线y?(x?1)2(x?3)2的拐点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

11．f(x),g(x)是大于0的可导函数，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?有( )

A．f(x)g(b)?f(b)g(x) B.f(x)g(a)?f(a)g(x) C.f(x)g(x)?f(b)g(b) D.f(x)g(x)?f(a)g(a)

12exx?b时

12．曲线y?x2?x?1的渐近线有( ) arctan?x?1??x?2?A．1条 B.2条 C.3条 D.4条

13．f(x)?x3?2x?q的O点的个数为( )

A．1 B.2 C.3 D.个数与q有关

?1x???t14．曲线?则曲线( )

1?b??t?1?A．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线

C．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线

15．设y?f(x)为y???y??esinx?0的解，且f?(x0)?0，则f(x)有( ) A．x0的某个邻域内单调增加 B．x0的某个邻域内单调减少 C．x0处取得极小值 D．x0处取得极大值 16. 罗尔定理中的三个条件;

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)?f(b)是

f(x)在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0成立的( ).

(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要 17. 下列函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).

(A) ln(lnx); (B) lnx ; (C)

1(?x); ; (D) ln2lnx18. 若f(x)在开区间(a,b)内可导,且x1,x2是(a,b)内任意两点,则至少存在一点?使得下式成立( ).

(A) f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f?(?) ??(a,b); (B) f(x1)?f(x2)?(x1?x2)f?(?) x1???x2 (C) f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?) x1???x2

(D) f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?) x1???x2

19. 设y?f(x)是(a,b)内的可导函数,x,x??x是(a,b)内的任意两点,则( ) .

(A) ?y?f?(x)?x