成都市武侯区2015-2016学年七年级下期末数学试卷含答案解析

160=3k2，

，

解得：k2=60，

∴y2=60x，y1=80x﹣40， 当y1=y2时， 60x=80x﹣40， x=2，

，

∴相遇时行驶的时间为2h；

（3）当y2﹣y1=2时，则60x﹣（80x﹣40）=2， 解得x=

，

当y1﹣y2=2时，则（80x﹣40）﹣60x=2， 解得x=

∴处于最佳通讯距离时的x的取值范围为≤x≤．

【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式以及函数的解析式与一元一次方程的运用，在解答时求出函数的解析式是关键．

28．（12分）（2016春?武侯区期末）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上． （1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF； ①求证：点F是AD的中点；

②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）①如图1，由AF=CF得到∠1=∠2，则利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD；

②先利用等腰直角三角形的性质得CA=CB，CD=CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，则BE=2CF，再证明∠CBE+∠3=90°，于是可判断CF⊥BE；

（2）延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG=CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC=180°﹣∠ACD，所以CD=CE=AG，再根据旋转的性质得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接着可证明△

AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．

【解答】（1）①证明：如图1， ∵AF=CF， ∴∠1=∠2，

∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠ADC， ∴FD=FC， ∴AF=FD，

即点F是AD的中点；

②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE， 在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC， ∴AD=BE，∠1=∠CBE， 而AD=2CF，∠1=∠2， ∴BE=2CF， 而∠2+∠3=90°， ∴∠CBE+∠3=90°， ∴CF⊥BE；

（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下： 延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2， ∵AF=DF，FG=FC，

∴四边形ACDG为平行四边形， ∴AG=CD，AG∥CD，

∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD， ∴CD=CE=AG，

∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°）， ∴∠BCD=α，

∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD， ∴∠GAC=∠ECB， 在△AGC和△CEB中

，

∴△AGC≌△CEB， ∴CG=BE，∠2=∠1， ∴BE=2CF， 而∠2+∠BCF=90°， ∴∠BCF+∠1=90°， ∴CF⊥BE．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．