微分方程复习题

微分方程复习题

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）

1、微分方程x(y???)2?2y??3y4?0的阶数为3 （ ）

2、函数y?Ce?2x是微分方程y???y??2y?0的通解 （ ） 3、方程xdx?ydy?0是齐次方程。 （ ） 4、对齐次方程

dyyy??()，解题时可用变换 u?化为可分离变量的微分方程求解；有dxxxx时也可用变换 u?。 （ ）

y5、若y?Y是某微分方程的解，则y?Y不是该微分方程的通解，就一定是该微分方程的特解 。 （ ）

6、由方程x2?xy?y2?c（c为任意常数）确定的函数为方程(x?2y)y??2x?y的解。 （ ）

二、单项选择题

1、下列函数为微分方程y???y?0的解的是（ ）

A、y?sinx B、y?sinx?cosx C、y?ex?e?x D、y?e2x 2、已知函数y?y(x)满足方程xydx 则当?2?2xd，y且当x?1 时，y?1,x??1 时,y?（ ）

A、1 B、e C、?1 D、e?1 3、方程cosxdy?y2sinx?0是（ ） dxA、一阶线性微分方程 B、齐次方程 C、可分离变量的微分方程 D、伯努利方程 4、下列方程为一阶线性微分方程的是（ ） A、yy??x2?1 B、y??xcosy?1 C、ydx?(x?y2)dy D、xdx?(x?y)dy 5、伯努利方程

dy?y?y3sinx可以通过变换（ ）化为相应的一阶线性非齐次dx微分方程求解。

A、z?y2 B、z?y?2 C、z?y?1 D、z?y3 6、下列方程是齐次微分方程的是（ ） A、(x?1)eydx?(y?x)exdy B、y??1 x?yC、x2(dx?dy)?y2(dx?dy) D、(x2?2y)dx?xy(dx?dy) 7、下列函数组在其定义区间内线性无关的有（ ）

A、ex,e2?x B、x,2x C、sin2x,sinxcosx D、e?x,ex 8、已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为r1=1, r2?2，则该方程为（ ） A、 y???y'?y?0 C、y???3y'?2y?0 9、方程y??B、y???3y'?2?0

D、y???3y'?2y?0

1是（ ） 2x?yA、可分离变量的微分方程 B、齐次方程 C、一阶线性微分方程 D、伯努利方程

10、方程y???4y??4y?0的两个线性无关的解为（ ） A、 e2x,xe2x B、e2x,ce2x C、e2x,e2x?1

三、填空题

1、微分方程y???2y??x3的一特解可设为 。

2、微分方程 y???2y??3y??17e3xcosx的一特解可设为 。 3、微分方程 y???y??4x?3e?x的一特解可设为 。 4、已知y1?ex及y2?xex都是方程y???4xy??(4x2?2)y?0的解，则该方程的通解为 。

5、方程y????e?x的通解是 。 6、方程y???4y??x?e?4x的特解 可设为y*? 。 四、求解下列微分方程

22 D、3e2x,?e2x

1、 求微分方程2x(1?y2)dx?(1?x2)dy?0满足初始条件xy?0?1的特解。

2、 求微分方程y??

3、 求伯努利方程

4、 求y???3y??2y?2excosx的通解。

yy?3tan的通解。 xxdy?2xy?2xy2的通解。 dx一、判断题 (1) √；(2) ×(3) √；(4) √(5) ×；(6) √

二、单项选择题 C ; A C; C; B C D; D; C; A

三、

1 x(ax3?bx2?cx?d); 2 e(c1cosx?c2sinx); 3 x(ax?b)?cxe 4 y?c1ex?c2xex; 5 y?223x?x1c1x2?c2x?e?x?c3; 2?4x6 y*?x(ax?b)?cxe四 1

12xdy?dx,arctany?ln(1?x2)?c221?y1?x y?0,x?1,c??ln21?x2特解：arctany?ln2

2

dydu?u?xdxdxdu3y?ux,3

4

u?xdx?u?3tanu,cotudu?xdxlnsinu?lnx3?lnc sinu?cx3,通解为：sinyx?cx3z?y?1,dz??y?2dydxdxdy??y2dzdxdxdzdx?2xz??2x z?e?2xdx(??2xe??2xdxdx?c)?ex2(??2xe?x2dx?c)?1?cex2通解为：y?11?cex2r2?3r?2?0,r1?1,r2?2y*?ex(a1sinx?a2cosx),a1??1,a2??1

通解为：y?c1ex?c2e2x?ex(sinx?cosx)