第九章 创新

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第九章 创新

概说

数学知识的创新,在许多教师和学生的心目中,是一项十分困难任务,甚至有不少人认为,探索发现新的数学知识与青少年学习数学没有什么关系.尽管学术界目前对于中小学生数学创新能力的概念与实质还存在着许多争论,但是,培养学生的创新精神是素质教育的核心任务之一,这一观点已经在社会各界基本上达成了共识,如何在日常的数学教学活动中逐步形成和发展学生的数学创新能力,这是需要全体教育工作者和全体学生共同努力探索的新课题.

《辞海》中对于“创造”一词的解释是“作出前所未有的事情”.对于数学创新能力,有一种解释是“在运用已知信息开展的思维活动中,产生出新颖的,独特的,有社会或个人价值数学成果的能力”.对绝大多数学生而言,数学创新思维的目标更多地是在于获得具有个人价值的数学新成果,是侧重于学习和体验如何通过自身的学习与研究来获得他(她)原本不了解的数学知识和方法.作为一种尝试,数学教育工作者提出了一种以培养学生数学创新能力为侧重点的数学问题的结构框架.这类问题要求学生能根据给定的背景材料,自行提出一个合理的,包括了已知条件和所求结论的问题系统并加以论证.问题的设计者更为关心的是解题者是否能提出一个包含了丰富的,深刻的数学思想的问题,而不是仅仅关心他(她)们能否正确地解答这个问题.

一个新的数学问题的提出,一项新的数学研究成果的获得,通常都是发源于原有的数学知识体系,是原有的数学理论和方法的自然的,合理的发展.要使学生获得初步的创新能力,使他们了解一些探索未知世界,发现新的知识成果的基本方法显然是必须的.例如,借助于数学的直觉直接猜想一个新的数学结论,然后再对此猜想加以证明,这是一种贯穿于整个数学发展历史的基本数学方法.当然,这种数学直觉也可以有一些数学方法的逻辑背景,比如一个猜想是通过一个已知命题的合理类比获得的,也可能是对若干结论的归纳概括得到的.又比如,将若干已知的结论利用一些数学工具进行新的合理组合,通过适当的演绎推理,也有可能发现新的数学命题.再比如,将已有的命题视作为一个特定背景下的结论,考虑扩大命题的存在背景,考察其是否有更为一般化的结论,使得原有的命题成为新的一般化结论中的一个特例,还可以根据得到的一般结论再加上特定的条件,再来获取有特别意义的特殊结论.总之,学习与研究包含着一定数学创新能力要求的数学问题,第一重要的收获是在于形成创新意识,了解科学创造的基本思想方法.

典型例题精讲

【典型例题1】已知cosA+cos2A+cos3A=a3,sinA+sin2A+sin3A=b3,求证: (1)tan2A=

b3a3;

22(2)(1+2cosA)2=a3?b3;

(3)试将上述问题的已知条件推广,n个正弦值之和为an,n个余弦值之和为bn,再写出已知条件推广后与结论(1)和(2)相对应的推广结论并加以证明(即问题(1)和(2)是推广后的命题当n=3时的特殊情形).

〖解题策略〗对于问题(1),将a3与b3中的三角函数各自和差化积再提取公因式,似乎即可解决问题.而对于问题(2),利用(x+y+z)2公式及同角三角函数关系中的平方关系以及两角和或差的余弦公式也将使问题有望得到解决.由于问题(1)和(2)的已知条件是三个三角函数值的和而且表现出自然数1,2,3的连续性,因此就联想到是否可将已知条件推广到1,2,3,…,n的情形并且将结论也作相应的变化,于是,就考

虑

将

已

知

条

件

推

广

为

cosA+cos2A+cos3A+…+cosnA=an,sinA+sin2A+sin3A+…+ sinnA=bn,并且可以猜想,结论(1)将变为tan

n?12A=

bnan.但是,与问题(2)相对应的结论是什么呢?似乎一

下子猜不出来;还有,是否能延用解决问题(1)和(2)的方法去证明推广后的结论?看起来有困难,由于不知道n是奇数还是偶数,如果将三角函数两两相配加以和差化积,则搭配的成多少对三角函数不易解决,更为不好解决的是,如果考虑问题(2)的推广结论中有a2和b2,那么,计算(cosA+cos2A+cos3A+…+cosnA)2的展开式是难nn以想象的.因此,必须选择新的方法去证明问题(1)的推广结论并对问题(2)的推广结论作出合理的推测.当然,三角函数式cosA+cos2A+cos3A+…+cosnA和sinA+sin2A+sin3A+…+ sinnA的变换是有现成模式的,可以借鉴运用. 〖证明〗(1)a3=2sin2AcosA+sin2A=sin2A(2cosA+1), b3=2cos2AcosA+cos2A=cos2A(2cosA+1),所以,tan2A=

b3a3.

2(2)a3=cos2A+cos22A+cos23A+2(cosAcos2A+cosAcos3A+cos2Acos3A),

2 b3=sin2A+sin22A+sin23A+2(sinAsin2A+sinAsin3A+sin2Asin3A),

2222

?b3=3+2(cosA+cos2A+cosA)=3+4cosA+2(2cosA-1)=(1+2cosA). a3(3)设an=cosA+cos2A+cos3A+…+cosnA, bn=sinA+sin2A+sin3A+…+ sinnA,那么, an=

12sinA2A(2cosAsin

3A2A2+2cos2Asin

A2A2+2cos3Asin

5A2A2+…+2cosnAsin

7A2A2)

5A2=

12sin[(sin-sin)+(sin-sin

3A2)+(sin-sin)+…+

(sin

2(2n?1)A2-sin

(2n?1)A2)]

A2=

12sinA2[sin

(2n?1)A2cosn?12sinAsinA2nA2;

-sin]=

sinn?12sinAsinA2nA2,

同理可得bn=sinA+sin2A+sin3A+…+sinnA=

nA2即tan

n?12A=

bnansin2,a2+b2=nnsin2.

A2ab〖点评〗本问题的来源于1986年高考文史类数学卷第七题:“已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,求证:(1)当b?时,tan3A=

;

(2)(1+2cos2A)2=a2+b2”.这里的问题(3)是对问题(1)和(2)的一个合理的推广,如果结论(3)是正确的,那么(1)和(2)只是问题(3)当中n=3时的特殊情形.将一个与自然数n0有关的命题推广到具有一般意义的自然数n的命题,这是数学中发现,构建新的数学结论的常用思想方法.然而,利用这种思想去构建新的数学命题会有这样的体会,有时,推广的结论是比较容易发现的,而有时则不然,结论能不能推广,或者是估计能推广,但推广的结论是什么,有时并不是很轻易地就能想象出来,而且,通常的情况是,原来证明特殊情形时成立的办法在用于证明一般情形时失效了,这个时候,就非常需要来源于非形式化的拟真推理来支持这样的数学信念,它应当是可以被推广的,原来的证明方法不奏效,就想办法用新的方法加以解决.另一方面,十分重要的一个观念是,推广之前的命题应当是推广后得到的命题的一个特殊情况,如果推广后得到的结论在形式上与原来的特殊情形有较大的差异,这时,就非常需要做一项工作,那就是要将推广后的结论回到原来的特殊情形,观察其是否与原来的特殊情形下的结论相吻合,从而间接地说明推广的正确性或者是所得到结论有问题.

sin2nA2例如在本例题中,问题(2)的推广结论是a2+b2=nnsin2A2,与原来的

22(1+2cosA)2=a3?b3从形式上看有很大的不同,因此,就十分有必要检验一下

sinsin23A2A2与(1+2cosA)2是否相等?

sinsin23A2A2(sinA2cosA?cossin2A2sinA)2=

22A2

=(cosA+2cos2

A2

)=(2cosA+1)2.这项验算工作使得我们有理由相信,尽管对于问题222(2)我们得到了一个与(2cosA+1)2=a3?b3从形式上看有较大差异的推广结论

sinan+bn222nA2=

sin2,但这个结论应当是可靠.反之,如果这种验算工作告诉我们,推广

A2后的一般结论取特殊情形与原本所有的特殊情形不能吻合,那么,一定是在推广工作的过程中某一环节出现了问题,于是,我们就需要重新审视原来所做的工作并努力地去发现其中存在的问题.

??????【典型例题2】(1)在?ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,证明:?ABC是正三角形的充

要条件是a?b=b?c=c?a. (2)在四边形ABCD

???中,AB=a,BC??=b,CD??=c,DA?=d????,试利用向量a,b,c,d??????的数

量积,写出一个刻划四边形ABCD形状特征的正确命题并加以证明.

〖解题策略〗根据正三角形边长相等,内角都等于60?及向量数量积的概念,即可

??????解决“必要性”问题.而说明条件的“充分性”则是在a?b=b?c=c?a的条件下证

明?ABC是正三角形,当我们用?ABC的三边长和三个内角“翻译”向量的数量积以后,似乎还不能进一步确定边长之间,或者是内角之间的关系,于是,我们就不得不考虑向量

???a,b,c之间是否还存在着其他可以利用的关系.由向量求和

?运算的性质可知,若干个“首尾相连”的向量之和为0,即

?a图9-1

???+b+c=0,将这一关系式运用于已知条件,即可发现已知条件将转换为与三角形

边长有关的结论,因此,我们希望由三角形三边长相等来说明?ABC是正三角形. 正三角形是一类最特殊的三角形,由于其三边长相等,所有内角都相等,于是就导