大一高等数学期中资料整理

东南大学交通学院 高等数学历年试卷

——东南大学交通学院研学部整理

东大交院高数历年试卷 ——研学部制作

第一部分 历年试卷

2003级高等数学（A）（上）期中试卷

一、单项选择题（每小题4分，共12分）

1.函数 y?f(x)在点x?处可导, 且f?(x?)?2, 则当?x?0时, dy是（） （A）与?x等价的无穷小；（B）与?x同价但非等价的无穷小； （C）比?x低价的无穷小；（D）比?x高价的无穷小。 2.方程x5?2x?1?0在(??, ??)内恰有（）

（A） 一个实根；（B）二个实根；（C）三个实根；（D）五个实根。 3.已知函数f 在 x?0 的某个邻域内连续, f(0)?0, lim则f 在 x?0 处（）

（A） 不可导；（B）可导且f?(0)?0；（C）取得极大值；（D）取得极小值。 二、填空题（每小题4分，共24分）

f(x)?1,

x?01?cosx?cos2x?cos3x,x?0,?2 则当 a? 时，f (x)在 x?0 处连续. 1.若f(x)??x?a ,x?0.? 2.设函数f (x)?limx1?x?x2enx1?enxn??，则f (x)在 x? 处间断，其类型是 .

3.函数f(x)?xe在x??1处的带Lagrange余项的三阶Taylor公式为 。 4.设函数y?y(x)由方程sin(xy)?ye?1 所确定，则dy? . 5.已知f(x)?ln(1?x)，则f(n)x(0)? . dy? 。 dx226.设y?f(cosx)?tanx，其中f 可导，则 三、（每小题7分，共28分）

1.求极限lim[tan(x?)]cot2x. 2.求极限lim(sinx?1?sinx)

x?0?4x???3.已知y?ln1?e?x?x?2sint?dyd2yxsinx，求y?(). 4.设? , 求 , 2.

2y?cos2tdxdx?第 2 页 共 24 页

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

东大交院高数历年试卷 ——研学部制作

x3?sinx. 四、（8分）求证当 x?0 时， x?6五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是6m/s，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？

2六、（8分）试就a的不同取值，讨论方程(x?a)3?2?a的实根的个数。

七、（6分）设函数f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1)内可导，且 f(1)?0，证明：至少存在一点??(0, 1)，使3f(?)??f?(?)?0。

八、（8分）在椭圆

x2a2?y2b2?1 (a?b?0)上求一点P(x, y)，使得它与另外两点A(2a, 0)，

B(0, 2b)构成的三角形?APB的面积最小。

第 3 页 共 24 页

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

东大交院高数历年试卷 ——研学部制作

2004级高等数学（A）（上）期中试卷

一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.设x?0时, esin3x?1与xn是等价无穷小,则n? .

?ln?1?2x?,x?0?x2.设f(x)??在x?0处连续,则a? .

?x?ae,x?03.设f(x)?x2cosx,则f?10?(0)? .

4.函数f(x)?2x?ln(1?x)在区间 内单调减少.

5.函数f(x)?xlnx在x0?1处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为 二. 选择题(每小题4分,共16分)

1ex1ex1.设f(x)??1?11arctan,则x?0是f(x)的 [ ]

x(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点 2.设f(x)?x?2g(x),且g(x)在x?2处连续,g(x)?0,则f?(2) [ ] (A) =g(2) (B) = -g(2) (C) ?0 (D) 不存在 3.函数f?x??lnx?x?1在?0,???内的零点个数为 [ ] e(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4.设曲线y?22?x2?x2?1?1,则该曲线 [ ]

(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近 (C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 三. 计算题(每小题7分,共3 5分)

1?2xsin?21??1x?? 2. lim?1. limcotx??x?0sinxx?x?0?ln?1?x????????2?x???1?3?ex?sinx??? ???3. 设y?y?x?是由方程xex?y?siny2?0确定的隐函数,求dy.

第 4 页 共 24 页

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。