随机过程习题及答案

P(TN?TN)??0dt2?012?t2?1N1(N1?1)!t1N1?1exp(??1t1)?2N2(N2?1)!t2N2?1exp(??2t2)dt1

12（2）当N1=N2、?1=?2时，P(TN?TN)?P(TN?TN)?

1212法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为?1+?2的泊松过程。令Z1、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则Z1、Z2分别服从参数为?1、?2的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

p?P(Z1?Z2)??dz2??1exp(??1z1)?2exp(??2z2)dz1

00?z2??1?1??2。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p??2?1??2

上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度?1+?2的泊松过程时，乘客分别以

?1?概率乘坐公共汽车1，以2的概?1??2?1??2率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：

P(1路汽车比2路汽车先出发）=N1?N2?1k?N1?CkN?11?1(?1?1??2)N1(?2?1??2)k?N1

（2）当N1=N2、?1=?2时

P(1路汽车比2路汽车先出发）=?Ck?N2N?1N?1k?11k12N?1N?11k?11()??Ck?1()?22k?N22

Poisson过程，参数分别为

3.3设{Ni(t),t?0}，(i?1,2,L,n)是n个相互独立的

?i(i?1,2,L,n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。

（1）求T的分布； （2）证明{N(t)??i?1Ni(t),t?0}是Poisson过程，参数为???i?1?i；

nn（3）求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于{N1(t),t?0}的概率。

解：（1）记第i个过程中第一次事件发生的时刻为ti1，i?1,2,...,n。

则T?min{ti1,i?1,2,...,n}。由ti1服从指数分布，有

P{T?t}?1?P{T?t}?1?P{min{ti1,i?1,2,...,n}?t}n?1?P{ti1?t,i?1,2,...,n}?1??P{ti1?t}

i?1nn?1??{1?(1?e??it)}?1?exp{?t}i?1??ii?1（2）方法一：由{Ni(t),i?1,2,...,n}为相互独立的poisson过程，对于?s,t?0。

nP{N(t?s)?N(t)?n}?P{?[Ni(t?s)?Ni(t)]?n}i?1?iNi(t)?ni,??P{N(t?s)?n?ni?n,i?1,2...,n}i?n???nn(snexp(?(?niin??i)s)i?ni?1?i?1ni!)

n(s)nn???ii?1n!exp(?(??i)s)i?1这里利用了公式n(?1?...??n?niin)?!

???ni?ni?1ni!n所以nn{N(t)??Ni(t),t?0}是参数为????i的poisson过程。

i?1i?1方法二： ○

1当h?0时， P{N(t?h)?N(t)?1}?P{?[Ni(t?s)?Ni(t)]?1}i?1n??{(?ih?o(h))?(1??jh?o(h))}i?1nj?1j?inn

??[?ih?o(h)]???ih?o(h)i?1i?1n2当h?0时， ○

P{N(t?h)?N(t)?2}?P{?[Ni(t?s)?Ni(t)]?2}i?1n?1?P{?[Ni(t?s)?Ni(t)]?2}i?1n?1??(1??jh?o(h))???ih?o(h)j?1i?1nn

?1?(1???ih?o(h))???ih?o(h)i?1i?1nn?o(h)得证。

（3）P{N1(t)?1|N(t)?1}?P{N1(t)?1,Ni(t)?0,i?2,...,n}/P{N(t)?1} ??1te??1t?ei?2n??it?/e??iti?1n??it?i?1n?1?1?...??n

3.4 证明poisson过程分解定理：对于参数为?的poisson过程

?{N(t),t?0}，0?pi?1，i?1rpi?1，i?1,2,L,r，可分解为r个相

i?1,2,L,r。

互独立的poisson过程，参数分别为?pi，

解：对过程{N(t),t?0}，设每次事件发生时，有r个人对此以概率

p1,p2,...,pr进行记录，且?pi?1，同时事件的发生与被记录之

i?1r间相互独立，r个人的行为也相互独立，以Ni(t)表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明{Ni(t),t?0}是参数为

?pi的poisson过程。

P{Ni(t)?m}??P{Ni(t)?m|N(t)?m?n}P{N(t)?m?n}n?0???Cn?0?mm?n(?t)m?n??tpi(1?pi)e(m?n)!mn

?e??pit(?pit)mm!独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录， 一个以概率p，一个以概率1?p记录，则{N1(t),t?0}是参数为

?p的poisson过程，{N2(t),t?0}是参数为?(1?p)的poisson

过程。

P{N1(t)?k1,N2(t)?k2}?P{N1(t)?k1,N(t)?k1?k2}?P{N(t)?k1?k2}P{N1(t)?k1|N(t)?k1?k2}(?t)k1?k2??tk1?eCk1?k2pk1(1?p)k2(k1?k2)!(?t)k1?k2??t(k1?k2)!k1?ep(1?p)k2(k1?k2)!k1!k2!(?t)k1?k2??tk1?ep(1?p)k2k1!k2!(?pt)k1??t(?(1?p)t)k2??(1?p)t?eek1!k2!?P{N1(t)?k1}P{N2(t)?k2}

得证。

3.5 设{N(t),t?0}是参数为3的poisson过程，试求 （1）P{N(1)?3}； （2）P{N(1)?1,N(3)?2}； （3）P{N(1)?2|N(1)?1}

3k?13e?3 解：（1）P{N(1)?3}??ek!k?03?3 （2）P{N(1)?1,N(3)?2}?P{N(1)?1,N(3)?N(1)?1}