随机过程习题及答案

一、

1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求:在解：

时,求

。

当时， ＝

＝

1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：

试求

的特征函数，并以此求其期望

与方差

。

解：

所以：

红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每 2.1 袋中有一个白球，两个一个确定的t对应随机变量

?t?如果对t时取得红球 X(t)??3

t??e如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.

2.2 设随机过程

相互独立的随机变量，服从区间率密度为

，其中

是常数，与是

上的均匀分布，服从瑞利分布，其概

试证明解：（1）

为宽平稳过程。

与无关

（2）

，

所以（3）

只与时间间隔有关，所以

为宽平稳过程。

2.3设随机过程X(t)?Ucos2t，其中U是随机变量，且E(U)?5，D(U)?5.求：

（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.

2.4设有两个随机过程X(t)?Ut2，Y(t)?Ut3,其中U是随机变量，且D(U)?5.

试求它们的互协方差函数。

t?T?(??,??)的均值 2.5设A,B是两个随机变量,试求随机过程X(t)?At?3B，函数和自相关函数.若A,B相互独立,且A~N(1,4),B~U(0,2),则mX(t)及RX(t1,t2)

为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）

解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的

poisson过程。以小时为单位。 则E(N(1))?30。

(30)k?30P(N(1)?40)??e。

k!k?0403.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为?1，?2，当1路公共汽车有N1人乘坐后出发；2路公共汽车在有N2人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N2，?1=?2时，计算上述概率。 解：

法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为?1、?2的poisson过程，令它们为N1(t)、N2(t)。TN表示N1(t)=N1的发生时

1刻，TN表示N2(t)=N2的发生时刻。

2fTN(t1)?1?1N1(N1?1)!t1N1?1exp(??1t1) t2N2?1exp(??2t2)

fTN(t2)?2?2N2(N2?1)!fTN,TN(t1,t2)?fTN|TN(t1|t2)fTN(t2)?12122?1N1(N1?1)!t1N1?1exp(??1t1)?2N2(N2?1)!t2N2?1exp(??2t2)