山东省日照一中2019届高三数学11月统考考前模拟试题理

（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

22.本小题满分12分.中学联盟试题

已知函数

f(x)?lnx?1?ax(a?R). x（Ⅰ）若a?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若a??1，求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）若1?a?2，求证：f(x)??1.

2016级高三第二次单元过关测试 数学（理科）试题答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。中学联盟试题

DBBBC DABAA CD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

111112)； 15.?； 16.(-，). ； 14.(3，422217.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由题意，得a2a5?a1a6?32，又a2?a5?18， 解得，a2?2，a5?16或a2?16，a5?2，

因为数列{an}为递增数列，所以a2?16，a5?2舍去， 所以q?3a5?8，即q?2. a2n?2?2n?1. ………………………………………………………………………5分 故an?2?2n?1（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn?2?n.

2n?1所以Tn?b1?b2?????bn?(1?2?2?????2)?(1?2??????n)

1?(2n?1)n(n?1)n(n?1)???2n?1?. ………………………………………………10分

2?122

- 5 -

18.解：（Ⅰ）因为f(x)在定义域为R的奇函数，所以f(?x)??f(x)，

-2?x?b-2x?b2xx2xx??x即?x，所以b?2?(ab?1)2?a?a?2?(1?ab)2?b，

2?a2?a因此??a?b,解得a?b?1. ………………………………………………………5分

?ab?1?1?ab,-2x?12（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x，即f(x)=x?1，

2?12?1因为f?(x)=-2?0，所以f(x)在R上是减函数， …………………………7分 xx22ln2(2?1)2由f(x)在定义域为R的奇函数，故不等式f(kx)?f(2x?1)?0等价于

f(kx2)??f(2x?1)?f(1?2x)，即f(kx2)?f(1?2x)，

因为f(x)在R上是减函数，所以kx2?1?2x， …………………………………………9分 由题意，kx2?1?2x对于x?[1,3]恒成立，即k?()?2()恒成立， 设t?1x1x1122，t?[,1]，则y?t?2t?(t?1)?1， x3当t?1，即x?1时ymin??1， ………………………………………………………………11分 所以实数k的取值范围.为(??,?1). ………………………………………………………12分

uuuruuur19.解：（Ⅰ）由AD?AC?0，得AD?AC，

又sin?BAC?sin(?BAD?)?cos?BAD?π222， …………………………………2分 3在?ABD中，由余弦定理，得BD2?AB2?AD2?2AB?ADcos?BAD， 即AD2?8AD?15?0，解得AD?3或AD?5，

显然AB?AD，故AD?3. …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由cos?BAD?221，得sin?BAD?1?cos2?BAD?， 33在?ABD中，由正弦定理，得

BDAB， ?sin?BADsin?ADB所以sin?ADB?分

ABsin?BAD6?， ………………………………………………10

BD3- 6 -

故cosC?cos(?ADB?)?sin?ADB?π26， 3即cosC?分

6. ………………………………………………………………………………12320.解：（Ⅰ）若a与b能否平行，则有

1?1?cos2x??2， sinxsinx因为x?(0,]，sinx?0，所以得cos2x??2，

这与|cos2x|?1相矛盾，故a与b不能平行. ……………………………………………6分

π22?cos2x2?cos2x1?2sin2x1????2sinx?（Ⅱ）由于f(x)?a?b?， sinxsinxsinxsinxsinx3πsinx?(0,]， 又x?(0,]，所以

23于是2sinx?11?22sinx??22， sinxsinx当2sinx?分

21，即sinx?时取等号. ……………………………………………11

2sinx故函数f(x)的最小值等于22. ……………………………………………………………12分

21.解:（Ⅰ）由题意知，该产品售价为2?(10?2t)元/件，由题意，得 t10?2ty?2?()?t?10?2t?x，

t代入化简，得y?20?(分

（Ⅱ）y?21?(4?x)，(0?x?k). ………………………………5x?144?x?1)?21?2?(x?1)?17， x?1x?1当且仅当

4?x?1，即x?1时，上式取等号. ………………………………8分 x?1当k?1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，

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当0?k?1时，y??(x?1)(x?3)4?0，故y?21?(?x?1)，

(x?1)2x?1在0?x?k上单调递增，所以在x?k时，函数有最大值，促销费用投入x?k万元时，厂家的利润最大. ……………………………………………………………………………11分

综上，当k?1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当0?k?1时，促销费用投入x?k万元时，厂家的利润最大. ………………………12分 22.解:（Ⅰ）若a?0，则f(1)??1，f?(x)?2?lnx,f?(1)?2， …………………1分 2x所以f(x)在点(1,?1)处的切线方程为2x?y?3?0. …………………………………2分

2?ax2?lnx（Ⅱ）x?(0,??)，f?(x)?. 2x2?2ax?1. ………………………………………3分

令g(x)?2?ax?lnx，则g?(x)?x2令g?(x)?0，得x???11(依题意??0)， 2a2a11；由g?(x)?0，得0?x??. 2a2a由g?(x)?0，得x??所以g(x)在区间(0,?11)上单调递减，在区间(?,??)上单调递增， ………4分

2a2a所以g(x)min?g(?分

151)??ln?. ………………………………………………52a22a因为a??1，所以0??111?,ln??0. ………………………………………6分 2a22a所以g(x)?0，即f?(x)?0.

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,??). ………………………………………7分

（Ⅲ）由x?0,f(x)??1，等价于

2lnx?1?ax??1, x等价于ax?x?1?lnx?0. ……………………………………………………………8分

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