东北大学秦皇岛分校2011年解析几何期末考试题（含答案）,优酷有配套讲解视频

学 号

班 级

姓 名

装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 东 北 大 学 秦 皇 岛

分 校

课程名称： 解析几何 试卷： A（答案） 考试形式： 闭卷

授课专业： 信科、应数、统计 考试日期：2011年 12月 28日试卷：共2 页

题号 一 二 三 总分 得分 阅卷人 一、填空（每空3分，共36分）

1、已知|av|?5,|bv|?8且?(av,bv)??3，求：av?bv= 20 ，|av?bv|= 203 ，|av?bv|= 7 ；

2、方程x2?y2?z2?2x?4y?4?0表示的曲面为 球面 ；

3、在直角坐标系中，点P(2,3,?2)到平面6x?3y?2z?6?0的距离为 1 ；4、平面2x?y?3z?1?0与x3?yz6??2?1的位置关系为 平行 ；

5、当?= 5x?1y?1z?14 时，直线1?2??与x?1?y?1?z相交，此时交点为 （5, 7, 6） ；

x24?z26、曲面9?2y称为_ 椭圆抛物 _面，平面x?4截割此曲面的截线方程

2为 ??18y?z?36?0, ?x?4.；

?x2y27、将xOy平面中的椭圆????1?94,绕x轴旋转所得曲面方程为?z?0x29?y24?z24?1，绕y轴旋转所得曲面方程为x29?y2z24?9?1。 二、解答下列各题（共42分）

1、求顶点在原点，以曲线??x2?2z?1?0,?z?1?0为准线的锥面方程。（8分）

?y解：设M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，则过M1的母线为

xyx??z …………………………（2分）1y1z1且有

??x21?2z1?1?0,1?0 ……………（5分）?y1?z1?设

xx?y?z?t，代入上式，消去参数t，得锥面方程 1y1z1x2?y2?z2?0。 ………………………（8分）2、设平面通过原点O和点M(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程。（8分）

解：设ar=uOMuuur?{6,?3,2}。则平面4x?y?2z?8的法向量

nr={4,?1,2}与ar={6,?3,2} ……………………（3分）均平行于所求平面，

又O在平面上，于是所求平面的点位式方程为

xyz6?32?0， ……………………（6分）4?12整理得2x?2y?3z?0。 ………………………（8分）

学 号

x2y2z2???1，试问当?取异于1,4,9的各种数值时，它3、给定方程

9??4??1??所以，所求旋转面的方程为

3x2?3z2?4xy?2xz?4yz?4x?8y?4z?0 。 …………（10分）

三、证明题（共22分）

vvvvvvv1、证明：1）向量a垂直于向量(ab)c?(ac)b；（5分）

班 级

表示怎样的曲面。（8分）

解：（1）当??9时，这个方程不表示任何图形； …………………（2分） （2）当9???4时，方程表示双叶双曲面； ……………………（4分） （3）当4???1时，方程表示单叶双曲面； ………………………（6分） （4）当1??时，方程表示椭球面。 …………………………（8分）

姓 名

装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 4、求与直线??x?y?4z?12?0平行且通过点（1,2,3）的直线方程。?2x?y?2z?3?0（8分）

解：直线的方向向量为：

vivjkvvv?1?1?4??6,?6,3? ………………（4分）21?2故所求直线的方程为

x?12?y?2?2?z?31。 …………………（8分）5、求曲线??x2?y绕直线x?yz?x?z?012?1旋转生成的旋转面的方程。（10分）

解：点M(x,y,z)在旋转面上 ? 点M(x,y,z)在母线上经过M0(x0,y0,z0)的纬圆上 …………………………（2分）即

?2?x0?y0,??x0?z0?0,?x2?y2?z2?x2?y2?2 …………………………（6分）?000z,?(x?x0)?2(y?y0)?(z?z0)?0,消去x0,y0,z0为

[12(x?2y?z)]2?(x?2y?z)?x2?y2?z2 …………………（8分） 2）如果av?bv?cv?v0，那么av?bv?bv?cv?cv?av。（5分）

证明：1）由于

av?[(abvv)cv?(acvv)bv]?av?[(abvv)cv]?av?[(acvv)bv]?(abvv)(acvv)?(acvv)(abvv) ……………（3分）

因此，av垂直于向量(abvv)cv?(acvv)bv?0； …………………………（ 2）由于av?bv?cv?v5分）

0，故

av??(bv?cv)。 …………………………（1分）

于是

av?cvbv?av?[??cv(bv?cv)]?[?(bv?bv?cv??(bv?)]??(cvbv?bv?cv?vvvvv?cvb)?cv??c)??cv?b?bv?b?bv?c;?cv ………（3分）

因此av?bv?bv?cv?cv?av. ………（5分）

。

2、证明(x?z)2?(y?z?a)2?a2表示的曲面是柱面。（12分）

证明：原方程可以化为(x?z)2?(y?z)(2a?y?z)， …………………（2分） 从而原方程等价于

??x?z??(y?z)??(x?z)?2a?y?z …………………（5分） 即??x??y?(1??)z?0,?x?y?(1??)z?2a?0. ?这是一族直线，这些直线生成所求曲面。 …………………（7分）

而这族直线的方向数为

X:Y:Z?1:?1:1， …………………（10分）