2018高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量课时规范练文(1)

小中高 精品 教案 试卷

第3讲 平面向量

一、选择题

→→

3??1?31?

1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )

?22??22?A．30° B．45° C．60° D．120° →→

→→

BA·BC3

解析：|BA|＝1，|BC|＝1，cos ∠ABC＝＝.

→→2|BA|·|BC|因为∠ABC∈[0°，180°]， 所以∠ABC＝30°. 答案：A

2．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|＜0，因而是充分条件，反之m·n＜0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．

答案：A

3．(2017·长春中学联考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(4，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝( )

A.5 B．5 C.

8585 D. 24

2

解析：因为a∥b，所以x·(－2)＝1×4， 得x＝－2，

所以a＋b＝(2，－1)，|a＋b|＝2＋1＝5. 答案：A

→→→→

4.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( )

2

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1

小中高 精品 教案 试卷

3A．－

41C．－

4

8B．－

94D．－

9

→→→

1

解析：因为BF＝2FO，圆O的半径为1，所以|FO|＝，

3

→→→→→→→→→→→→12

8??2

所以FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝??＋0－1＝－.

9?3?答案：B

5．(2017·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )(导学号 55410109)

A．2 B．4 C．6 D．8

→→→→→

解析：令OA＝a，OB＝b，则b－a＝OB－OA＝AB，如图，

因为b与b－a的夹角为30°， 所以∠OBA＝30°， →

因为|a|＝|OA|＝3， →|OA|

所以由正弦定理＝

sin ∠OBA→

|OB|

得，|b|＝|OB|＝6·sin ∠OAB≤6.

sin ∠OAB答案：C 二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________． 解析：由题意，得－2×3＋3m＝0， 所以m＝2. 答案：2

→→

7．(2017·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，向量AB，AC的→

夹角为60°，则|OA|＝________．

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2

→

小中高 精品 教案 试卷

→→→→→→→

13

解析：向量AB，AC的夹角为60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO22→→→→→→→→→→11122222＝(AB＋AC)，所以AO＝(AB＋AC)＝(AB＋2AB·AC＋AC)，即AO244

答案：

13

2

→→

π

8．(2017·济南调研)在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为

6________．

解析：令角A，B，C的对边分别为a，b，c， →→→→

则AB·AC＝|AB||AC|cos A＝cbcos A＝tan A， π332

因为A＝，所以bc＝，即bc＝，

623311211

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝. 223261

答案： 6三、解答题

?π?9．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.

2??

(导学号 55410110) (1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

解：(1)由题意，得|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sinx， |b|＝cos x＋sinx＝1， 因为|a|＝|b|，所以4sinx＝1. 1?π?由x∈?0，?，从而sin x＝，

2?2?π

所以x＝.

6

(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sinx＝

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3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋， 6?2222?

小中高 精品 教案 试卷

π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.

2?6?3??3

所以f(x)的最大值为. 2

10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin

B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.

(1)求B的大小；

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c. 解：(1)因为p⊥q，

所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0， 则sinB－cosB＋2sinB－2＝0， 32

即sinB＝，

4

又角B是锐角三角形ABC的内角， 所以sin B＝

3

，所以B＝60°. 2

2

2

2

(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为3， 1

所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①

2由余弦定理得b＝a＋c－2accos B， 又b＝2，所以a＋c＝8，② 取立①②，解得a＝c＝2.

12

11．(2017·淄博诊断)已知函数f(x)＝3sin ωxcos ωx－cosωx＋(ω＞0)，与f(x)

2ππ

图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.(导学号 55410111)

312

2

2

2

2

2

?π5π?(1)讨论函数f(x)在区间?－，?上的单调性；

?1212?

(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝1，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．

解：(1)f(x)＝

π?31＋cos 2ωx131?sin 2ωx－＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin?2ωx－?，

6?22222?

ππ

相邻的零点为x＝， 312

由于f(x)图象的对称轴x＝12ππππ

得·＝－＝， 42ω3124

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