2017-2018学年高中数学三角函数1.3第二课时诱导公式(二)学案新人教A版

第二课时 诱导公式(二)

预习课本P26～27，思考并完成以下问题 π

(1)－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？

2

(2)诱导公式五、六有哪些结构特征？

[新知初探]

诱导公式五和公式六

[点睛] 这两组公式实现正弦和余弦的相互转化．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( ) 答案：(1)× (2)× 2．已知sin??5π＋α?2?＝1，那么cos α＝( ) ?5?

1B．－ 5

2

A．－

5

1C． 5答案：C

2D． 5

?π?1?π?3．若cos?－α?＝，则cos?＋α?＝( ) ?2?2?2?

1

A．－ 2C．－3 2

1B． 2D．3 2

答案：A 4．化简：sin?

?3π＋α?＝________.

?

?2?

答案：－cos α

利用诱导公式化简 [典例] 化简： ?π??π

sin?＋α?cos?－α?2??2

π＋α

???

π－α

＋π＋α

?π＋α??2???

. ?π??π?[解] ∵sin?＋α?＝cos α，cos?－α?＝sin α，

?2??2?

cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，

?π?cos?＋α?＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，

?2?

cos α·sin αsin α－sin α∴原式＝＋－cos α－sin α

用诱导公式进行化简的要求 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． [活学活用] 化简：(1)

α－π

π－α

π??π??·sin?α－?cos?＋α?； 2??2??

＝－sin α＋sin α＝0.

π???3π

(2)sin(－α－5π)cos?α－?－sin?＋α

2???2cos[－π－α

解：(1)原式＝sin α＝＝

π－αsin α

?cos(α－2π)． ??

??π??·sin?－?－α??(－sin α) ??2??

??π??·?－sin?－α??(－sin α)

??2??

－cos α

·(－cos α)(－sin α)

sin α

2

＝－cosα.

??π??(2)原式＝sin(－α－π)cos?－?－α??＋cos α· ??2??

cos[－(2π－α)]

?π?＝sin[－(α＋π)]cos?－α?＋cos αcos(2π－α) ?2?

＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sinα＋cosα ＝1.

利用诱导公式证明恒等式 3π?π???2sin?θ－?cos?θ＋?－1

2?2???

[典例] 求证： 2

1－2sinπ＋θ＝

π＋θπ＋θ

＋1. －1

－1 2

2

?3π?－2sin?－θ?－sin θ?2?

[证明] 左边＝2

1－2sinθ

π????2sin?π＋?－θ??sin θ－1??2??

1－2sinθ

2

＝

?π?－2sin?－θ?sin θ－1?2?

＝ 2

1－2sinθ

＝＝

－2cos θsin θ－1

222

cosθ＋sinθ－2sinθθ＋cos θ22sinθ－cosθ

2

sin θ＋cos θ＝. sin θ－cos θ

tan θ＋1sin θ＋cos θ右边＝＝. tan θ－1sin θ－cos θ∴左边＝右边，故原式成立．

三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [活学活用] π??cos?α－?2??2

求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sinα.

?5π?sin?＋α??2?

?πcos?－α?2

证明：左边＝?πsin?＋α

?2

???

·[－sin(2π－α)]cos α＝ ???

sin αsin α2

[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sinα＝右边，故原式成立. cos αcos α

利用诱导公式求值 [

典

例

]

已

知

π－θ??3π??cos θ?sin?－θ?－1???2??

＝

5

8

，

求

π＋θ

π－θ

?π＋θ?－sin?3π＋θ?2??2???

?

??

的值．

π－θ－cos θ

[解] ∵＝??3π??cos θ－cos θ－cos θ?sin?－θ?－1?

??2??＝

15＝，

1＋cos θ8

3

∴cos θ＝.

5∴

π＋θ

＝

cos

π－θ

π3π?＋θ?－sin?＋θ??2??2?????

cos θ

－cos θcos θ＋cos θ