2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何必修2选修2_1第4节双曲线应用能力提升理含解析

(C)-=1 (D)-=1

解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可得点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)+b=16,所以有

2

2

(c-a)+b=c,又c=a+b,则c=2a,即a==2,所以b=c-a=4-2=12.故双曲线的方程为故选A.

22222222222

-=1,

11.(2018·吉林百校联盟联考)已知双曲线C:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点

F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为 .

解析:不妨设l与渐近线y=x垂直,

则直线l:y=-(x+c),

由得M(-,-),

由得N(-,),

因为|NF1|=2|MF1|, 所以M为NF1的中点,

所以

2

2

=-2

.即c=-2(a-b).

2

222

所以a+b=-2a+2b.

所以=.

x.

故双曲线的渐近线方程为y=±

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答案:y=±x

12.(2018·湖南两市九月调研)已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线

=3

,

虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若则此双曲线的离心率为 .

解析:根据题意知F(-c,0),A(0,b).设B(x0,y0), 由

=3

得(x0,y0-b)=3(c,b),

则4b=·3c.

所以e==.

答案:

13.已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 .

解析:由题意易知点F的坐标为(-c,0),A(-c,),

B(-c,-),E(a,0),因为△ABE是锐角三角形,所以·>0,

即·

3

=(-c-a,)·(-c-a,-)>0,整理得3e+2e>e,

24

所以e(e-3e-3+1)<0, 所以e(e+1)(e-2)<0,

解得e∈(0,2),又e>1,所以e∈(1,2). 答案:(1,2)

2

14.(2018·东北四市模拟)F为双曲线

-=1(a>b>0)的左焦点,过点F且斜率为1的直线与双

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曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为 .

解析:设双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,l1:y=x,l2:y=-x,由于kFA=1,则FA的方程为y=x+c,

由

可得A(-,),

由

可得B(,),

因为

=,所以点A为FB的中点,故

=,则b=3a,即b2=9a2

,

所以c2

-a2

=9a2

,即e2

=10,所以e=.

答案:

15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为2,一个焦点的坐标为(-,0).

(1)求双曲线的方程;

(2)若斜率为2的直线l交双曲线C于A,B两点,且|AB|=4,求直线l的方程. 解:(1)由2a=2

得a=

,又c=

,

所以b2=c2-a2

=2,则双曲线C的方程为

-=1.

(2)设直线l的方程为y=2x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

由

得10x2

+12mx+3(m2

+2)=0,

所以x1+x2=-m,x1x2=,

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且Δ=24(m2

-10)>0,得|m|>,

则

弦

长

|AB|=

|x1-x2|=

×

=

==4,

解得m=±.

所以直线l的方程为y=2x+或y=2x-.

×

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