2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何必修2选修2_1第4节双曲线应用能力提升理含解析

第4节 双曲线

【选题明细表】

知识点、方法 双曲线定义及应用 双曲线的标准方程及几何性质 双曲线的综合 基础巩固(建议用时:25分钟)

题号 5,8,9 1,2,3,6,11,12,13,14 4,7,10,15 1.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a等于( D )

(A)2 (B) (C) (D)1

解析:因为双曲线的方程为-=1,所以e=1+

2

=4,因此a=1,a=1.选D.

2

2.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( C )

(A)x-

2

=1 (B)-y=1

2

(C)-x=1 (D)y-

22

=1

解析:A,B选项中双曲线的焦点在x轴上,C,D选项中双曲线的焦点在y轴上,又令-x=0,得

2

y=±2x,令y-

2

=0,得y=±x.故选C.

3.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )

(A)-=1 (B)-=1

(C)

-=1 (D)-=1

- 1 -

解析:因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,b=c-a=9,所以所

222

求双曲线方程为-=1,故选C.

4.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆

+=1有公共焦点,则C的方程为( B )

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-=1

解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b=5a,

22

椭圆+=1的焦点为(3,0),

所以c=3.

在双曲线中c=a+b,得a=4,b=5.

2

2

2

2

2

则C的方程为-=1.故选B.

5.已知双曲线-y=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2

2

,则

△PF1F2的面积为( A )

(A)1 (B) (C) (D)

解析:在双曲线|PF1|-|PF2|=2a=2

-y=1中,a=,又|PF1|+|PF2|=2

2

,b=1,c=2.不妨设P点在双曲线的右支上,则有,所以|PF1|=

+

, |PF2|=

-.又|F1F2|=2c=4,而

|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以PF1⊥PF2,所以

222

=×|PF1|×|PF2|=×(+)×

- 2 -

(-)=1.故选A.

6.(2017·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△

OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( D )

(A)-=1 (B)-=1

(C)-y=1 (D)x-

22

=1

解析:根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=x上).

由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60°,c=|OF|=2.

又点A在双曲线的渐近线y=x上,

所以=tan 60°=

2

2

.

,

又a+b=4,所以a=1,b=

所以双曲线的方程为x-故选D.

2

=1.

7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为

y=±2x,则双曲线C的方程为 . 解析:易得椭圆的焦点为(-,0),(

,0),

所以

所以a=1,b=4,

2

2

- 3 -

所以双曲线C的方程为x-

2

=1.

答案:x-

2

=1

8.已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 . 解析:由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为

-=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,b=9-4=5.

2

所以点P的轨迹方程为-=1(x>0).

答案:-=1(x>0)

能力提升(建议用时:25分钟)

9.已知F1,F2为双曲线C:x-y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|= 2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )

22

(A) (B)

2

2

(C) (D) ,c=2.

,

解析:由x-y=2,知a=b=

由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2又|PF1|=2|PF2|, 所以|PF1|=4

,|PF2|=2

,

在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得

cos∠F1PF2==.故选C.

10.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以

C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( A )

(A)-=1 (B)-=1

- 4 -