2018年浙江省绍兴市诸暨市高三第一学期期末数学试卷带答案

其中有四个球的编号与盒子编号相同的基本事件有：（4，3，2，1）， ∴其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为 故答案为：p=1﹣故答案为：

．

=

．

16．（4分）已知a，b都是正数，且a2b+ab2+ab+a+b=3，则2ab+a+b的最小值等于 ．

【解答】解：已知a，b都是正数，且a2b+ab2+ab+a+b=3， 则：ab（a+b）+（a+b）+ab+1=4， （a+b）（ab+1）+（ab+1）=4， 故：（a+b+1）（ab+1）=4． 由于：a，b都是正数， 所以：ab+1≠0， 故：a+b+1=所以：a+b=

， ，

，

所以：2ab+a+b=2ab+=2ab+2+=2（ab+1）+

﹣2，

， ﹣3，

=4

．

．

故答案为：

17．（4分）已知a，b∈R，恒成立，则a+2b= ﹣2 ． 【解答】解：由

当x=1时，可得|2+a+b|≤，即当x=4时，可得|4+4a+b|

，

，若对于任意的

恒成立，可得|b|

， ．

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，则，

那么：a+2b=a+2b=

（4a+b）+

；

综上可得a+2b=﹣2． 故答案为：﹣2．

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cosC（acosB+bcosA）=c． （1）求角C；

（2）若c=2，求a+b的最大值．

【解答】解：（1）∵2cosC（acosB+bcosA）=c，

∴由正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）=sinC，可得：2cosCsin（A+B）=sinC， 化简得：2cosCsinC=sinC， ∵C∈（0，π），sinC＞0， ∴

（2）∵c=2，C=

． ，

∴由余弦定理得：4=a2+b2﹣ab， 可得：

，

可得：（a+b）2≤16，即：a+b≤4（等号当且仅当a=b=2时成立）， ∴a+b的最大值为4．

19．如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB∥EF，AF=EF=BE=1，

．

（1）求证：BF⊥平面ADF；

（2）求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值．

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【解答】证明：（1）等腰梯形ABEF中， ∵AB=2，EF=AF=BE=1，∴cos∠FAB=∴BF=

∴AF2+BF2=AB2，∴AF⊥BF， 在△DFB中，BF2+DF2=BD2，BF⊥DF ∵AF∩DF=F，∴BF⊥平面ADF．

解：（2）作FO⊥AB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系， 则

=（0，1，0），

=（﹣

，

），

，

=，

设平面DCEF的法向量=（x，y，z），

则，

取x=2，得平面DCEF的法向量为又∴cos＜

＞=

，

=．

．

∴BF与平面DCEF所成角的正弦值为

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20．已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax的图象在x=0处的切线方程是x+y+b=0． （1）求a，b的值；

（2）求证函数f（x）有唯一的极值点x0，且

．

【解答】（1）解：函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax，则f'（x）=xex﹣a， 由f'（0）=﹣1得a=1，

切线方程为y﹣（﹣1）=﹣1（x﹣0），x+y+1=0， 所以b=1．

（2）证明：令g（x）=f'（x）=xex﹣1， 则g'（x）=（x+1）ex，

所以当x＜﹣1时，g（x）单调递减，且此时g（x）＜0，在（﹣∞，﹣1）内无零点．

又当x≥﹣1时，g（x）单调递增，又g（﹣1）＜0，g（1）=e﹣1＞0， 所以g（x）=0有唯一解x0，f（x）有唯一极值点， 由又

，

，

，

，

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