课堂新坐标2016_2017学年高中数学第1章4平均值不等式北师大版选修4_4

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 不等关系与基本不

等式 学业分层测评4 平均值不等式 北师大版选修4-5

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、选择题

1．下列不等式恒成立的是( ) 1

A．x＋≥2

x1

B．sin x＋≥2

sin x1xD．e＋x≥2

e

C.＋≥2 【解析】 根据∴成立．

【答案】 D

abbaa＋b2

≥ab知，条件需a>0，b>0.∴A，B，C均不成立，D中，∵e>0，

x2．a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是( ) A．|a＋b|＞|a－b|

2

C.?

B．

a＋b2

≥ab

?a＋b?≥ab

??2?

2

2

D．＋≥2

baab【解析】 a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立．

而?

?a＋b?－ab＝?a－b?≥0恒成立．

??2??2???

【答案】 C

3．设a＞0，b＞0，且a＋b≤4，则有( ) A.1≥ ab21

11B．＋≥1

ab2C.ab≥2 D．

112≤ a＋b4

【解析】 4≥a＋b≥2ab，∴ab≤2. ∴

1

1111≥，＋≥2·≥1. ab2abab【答案】 B

4．设0

1

2

2

2

2

B．2ab

【解析】 ∵0

∴a＋b>2ab，b>a＋b，且a＋b>b. 故2ab

5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( ) A．a＜v＜ab C.ab＜v＜

B．v＝ab

D．v＝2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2222

a＋b2

a＋b2

【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a＜b，∴v＝2sss＋ab＝

2sab2ab2ab＝＜＝ab.

a＋bsa＋b2ab2

2

2

2abab－aa－a又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.

a＋ba＋ba＋b【答案】 A 二、填空题

?abc??bca?6．已知a，b都是正数，则?＋＋??＋＋?≥________.

?bca??abc?

【解析】 ∵a，b都是正数， ∴＋＋≥3， 且＋＋≥3.

abcbcabcaabc?abc??bca?∴?＋＋??＋＋?≥9. ?bca??abc?

【答案】 9

112

7．设A＝＋，B＝(a＞0，b＞0且a≠b)，则A，B的大小关系是________.

2a2ba＋b【导学号：94910012】

a－b2

【解析】 法一(比较法)：A－B＝＞0(a＞0，b＞0且a≠b)，则A>B.

2aba＋b 2

法二：A＞

1

ab，B＜1

ab，故A＞B.

【答案】 A＞B

8．已知不相等的三个正数a，b，c且abc＝1，则a＋b＋c与3的大小关系是________． 3

3

3

【解析】 ∵a，b，c是不相等的三个正数，且abc＝1， ∴a3＋b3＋c3

＞33a3b3c3＝3. 【答案】 a3

＋b3

＋c3

＞3 三、解答题

9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：111

a＋b＋ab≥8.

【证明】 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴2ab≤a＋b. 因此ab≤12，1

ab≥4.

则1a＋1b＋1ab＝(a＋b)??1?a＋1b??1?＋ab

≥2ab·2

1

ab＋4＝8.

10．已知a，b，c大于0，求证： (a＋b＋c)?

?1＋1＋1?a＋bb＋ca＋c??

?≥92

. 【证明】 ∵a，b，c大于0， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) ≥3

3

a＋bb＋cc＋a＞0，

131a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥3a＋b·1b＋c·1

a＋c＞0， ∴(a＋b＋c)?

?1＋1?a＋bb＋c＋1a?＋c??≥92

. 当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

能力提升]

1．设a，b，c为正数，则“abc＝1”是“1

a＋

1

b＋1

c≤a＋b＋c”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

)

3

D．既不充分也不必要的条件 【解析】 当a＝b＝c＝2时，有1

1

1

1

a＋

1

b＋1

c≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不

成立；当abc＝1时，

a＋

b＋

c＝bc＋ac＋ab＝bc＋ac＋ab，a＋b＋c＝

abca＋b＋b＋c＋a＋c2

“1

1

1

≥ab＋bc＋ac，所以充分性成立，故“abc＝1”是

a＋b＋

c≤a＋b＋c”的充分不必要条件．

【答案】 A

2．当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( ) A.

a＋b2

B．ab

-1

C. a＋b2

22

D．?

2

2

?a＋b?

?

?2?

－1－1

【解析】 由∴

a＋b2

≥ab及a＋b≥2ab，且a≠b，

a2＋b22

≥2ab＝ab， 2

∴A，B，C中，ab最小．

-1

而?

?a＋b?＝2ab.

?a＋b?2?

－1－1

∵a≠b时，a＋b＞2ab＞0， ∴(a＋b)ab＞2ab＞0，-1

综上可知，?

2ab＜ab. a＋b?a＋b?最小，应选D.

??2?

－1－1

【答案】 D

3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．

112233

①ab≤1；②a＋b≤2；③a＋b≥2；④a＋b≥3；⑤＋≥2.

ab【解析】 利用特殊值a＝b＝1排除②④.

4