流体力学教案第3章流体运动学基础

§3—5 流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

我们知道，刚体运动一般可分为两部分??移动?转动，流体由于它具有流动性，极

易变形，所以流体微团的运动一般分为三部分：

移动转动?线变形变形运动??角变形下面进行运动分析，如图所示：

z

x y dx dy w ρ dz υ A u ?A?????dx?x2???dy?y2???dz?z2uA?u??udx?x2??udy?y2??udz?z2wA?w??x2?wdx??y2?wdy??z2?wdz设t瞬时，有一边长为dx、dy、dz的平行六面体的流体微团。在它形心处，沿三个坐标轴的速度分量为u，υ，w八个顶点处速度分量由泰勤级数展开，并略去高于一阶的无穷小量。图上只标明了x方向的速度分量。我们写出A点沿三个坐标轴的速度分量为：

???x2?y2?z2???dx??dy??dz??A???????x2?y2?z2??wdx?wdy?wdz?wA?w?????x2?y2?z2?uA?u??udx??udy??udz

为简化讨论，先分析流体微团的平面运动，如下图所示：

x

????dx?x2?????dx?x2???dy?y2????dx?x2???dy?y2u??udx?x2??udy?y2D dy ??dy?y2u??udx?x2??udy?y2A (x,y) ????dx?x2???dy?y2C

y

u??udx?x2dx ??udy?y2B u??udx?x2??udy?y2由于流体微团各点的速度不同，在dt时间间隔中，经过移动、转动，线变形和角变形运动，微团的位置和形状都发生了变化。

下面进行详细分析： (1)移动

O

C D υ u B x A ?dty udt如图所示，若只考虑ABCD各点速度分量中的u，υ两项，且都认为和形心速度相同，即不考虑各点的速度增量，那么经过dt时间后，形心及各点移动距离为：(2) 线变形运动

如果仅考虑A与D，B与C，在x轴方向有相同的速度差，即：

uA?uD?uB?uC?2?udx?x2向右移动 udt向上移动 ?dt，形状不变。

同理，A与B，D与C在y轴方向有相同的速度差，即：

?A??B??D??c?2??dy?y2

?udy?x2dt那么，经过?t时间后，AD边与BC边均向左向右伸长距离，若不

考虑流体微团沿z轴方向的变化，并考虑到连续性条件(不可压)，那么，AB边和DC边均向上向下缩短

?u?x??dy?y2dt的距离。并且可见，线变形运动是由同名偏导

数和

???y来决定的。

(3)角变形运动和旋转

若仅仅考虑A与D，B与C在y轴方向有相同的速度差，即：

?A??D??B??C?2??dx?x2。

同理，A与B，D与C在x轴方向有相同的速度差，即：

uA?uB?uD?uC?2?udy?y2

??dx?x2若

?u?y及

???x均为正值，则经过?t时间后，A点向上移动了

??dx?x2dt距离，向

右移动了

?udy?y2dt距离；C点向下移动了

?udy?y2dt距离，向左移动了

?udy?y2dt距

离；而D点则向右移动向上移动了

??dx?x2dtdt，向下移动了

??dx?x2dt；B点向左移动了

?udy?y2dt，

距离。结果AD边和BC边反时针旋转了微小角度d?，AB

边和DC边顺时针旋转了d?，通过形心的平行于x轴y轴的中心线也分别旋转了d?和d?的角度，当α很小时， ??tg?，所以有：

??dxdt????x d??tgd???x2dx2dt

?udy d??tgd???y2dy2dt??u?ydt

若

?u?y????x，则d??d?，也就是仅发生了角变形运动，使矩形变成了平行

四边形。

如果??u?y????x，则，d???d?，结果使ABCD各边都反方向旋转了同一

微小角度，即矩形ABCD只发生了旋转，形状不变，一般情况下有：

??u?y????x?d??d?

既发生了转动，又发生了角变形。并由此可见，角变形运动以及旋转运动均是由异名偏导数

?u?y和

???x来决定的。

下一步先把流体微团的复合运动分解，即认为ABCD先旋转，再变形。即流体微团中心线先反时针旋转d?，再相对转动d?变成菱形，那么有：

d??d??d? ①

d??d??d? ②

1(d??d?)

①+②?d??21①-②?d??(d??d?)

2而流体微团旋转角速度沿z轴的分量

?z????t?1????1???u(?)?(?)2?t?t2?x?y

同理得： ?y??x?1?u?w(?) 2?z?x

1?w??(?) 2?y?z222而 ???x??y??z