社会统计学笔记

则： 。

对于双边检验，拒绝域为： 对于单边检验，

当 时拒绝域为： ，当 时拒绝域为： 。 （二）两个总体的方差未知 假设（应用两个总体方差齐性的检验可以通过两个样本方差比来检验两个总体的方差是否相等）。

样本标准差和的加权平均值代替， ，对总体提出原假设：。此时， 服从自由度为的分布，,两个总体方差未知时，用两个样本均值差来检验两个总体均值差的统计量。 对于双方检验，拒绝域为： 对于单边检验，

当 时拒绝域为： ，当 时拒绝域为： 。 当t分布自由度时，用取代，取代 二. 两个总体方差齐性的检验 总体未知，两个总体均值差的区间估计和假设检验的要求是，两个总体的方差相等称为两个总体方差齐性。

总体 样本, 总体 样本,

总体服从正态分布，样本方差服从分布：,。

根据两个服从分布的随机变量的比服从F分布可得：。

如果，则。即检验两个总体方差齐性的统计量，因为统计量是两个样本方差比，因此，两个总体方差齐性的检验也是两个样本方差比的检验。

。说明，方差比检验的目的是要说明两个总体方差是否相等，因此备择假设不再需要单边假设，在计算F统计量时，永远将与中大的一个放在分子上，这样得出F值会有： ，当显著性水平为时，拒绝域为。 三. 两个总体频率差的检验 总体 ，, 总体 ，

根据中心极限定理都趋向于正态分布： ，。

根据正态分布的线性组合仍然服从正态分布的特点：

标准化得：

对于双方检验，拒绝域为： 对于单边检验，

当 时拒绝域为： ，当 时拒绝域为： 。 第三节 配对样本的T检验 一. 配对样本的概念

配对样本也称为非独立样本，它实际上只是一个样本。是对于同一变量，在同一样本上进行了前后两次测量所获取的两组数据，在实验研究中双组前后测测试研究所获得的两组数据就构成了配对样本。

二. 配对样本T检验的方法

设配对样本中每个个体进行前后两次观测值为和（i=1,2,?,n）,n是配对样本中个案的数量，设差值为 , 。

假定和都服从正态分布两个总体均值分别为，现将看作随机变量，根据正态线性线组和仍服从正态分布得： 。

假设总体的前后两次无显著差异，，则有 。 的样本均值 , ,由于未知，用代替， ，服从自由度为n-1的t分布， 对于双边检验，拒绝域为： 对于单边检验，

当 时拒绝域为： ，当 时拒绝域为： 。 当t分布自由度时，用取代，取代

第十一章 两个类别变量关系的假设检验 第一节 列联表的检验——检验 一. 检验的基本思想

检验是要通过样本数据的分布来检验在总体中两个变量是否相关。 如果两个变量不相关就称为两个变量相互独立，在列联表中表现形式是频率的条件分布等于边缘分布， 。 二. 检验的方法 （一）检验的原假设

列联表检验的原假设是总体中变量之间是相互独立的。 原假设：

由于 是总体的边缘分布，是未知，可以用样本的边缘分布作为其点估计值。

（二）检验的统计量

设由样本观察值制作的列联表每个格中的频次 ，在原假设成立条件下构造的期望频次分布的列联表中的频次为,比较期望频次与实际频次的差异所使用的统计量是的统计量，这种检验被称为检验，值越大，说明样本观察值的频次分布与期望频次分布的差异越大，说明两个变量越不独立，相关性越强。 （三）检验的过程

1.提出原假设并构造期望频次分布的列联表

2.确定临界值和拒绝域

根据显著性水平值分布表，确定临界值和拒绝域为： 。 3.统计量的值

4.将值和进行比较得出检验结果

如果，就拒绝原假设，认为总体中两个变量相关。

例：抽4028，性别与文化程度的分布，问残疾人的文化程度是否与性别相关。 文化程度 未上过学 小学 初中 高中 中专 大学专科 大学本科 总计 男 540（714.2） 842（799） 641（528.2） 178（139.8） 38（35.1） 24（20.4） 13（9.1） 2276 女 722（547.8） 570（613） 346（428.5） 69（107.2） 24（26.9） 12（15.6） 3（6.9） 1746 总计 1262 1412 987 247 62 36 16 4022 解：n=4022 r=7 c=2

K=(r-1)(c-1)=(7-1)(2-1)=6 查表：

因为： ，所以拒绝原假设 三.检验应注意的问题 使用检验，期望频次不能过小，否则会使计算出值过大，导致错误地拒绝原假设，一般要求。可以允许有个别单元格的期望频次 ，但要求的格数不能过多，具体要求的格数不应超过总格数20%。如出现的格数大于总格数的20%时应将偏小的格值合并。 第二节 列联相关系数和等级相关系数的检验 一.列联相关系数的检验

在描述统计部分的列联相关系数是基于消减误差比例的思想建构的。 （一）系数的检验 （二）系数的检验

（三）基于值的相关性计算与检验

由于值是一个可以趋于无穷大的系数，而且自由度不同时，值的大小不能进行比较，为使用任何样本容量计算出的值具有可能性，用单位频次值来表示变量之间的

随着列联表的格数增多，值会增大，值也会增大，因此中系数取值无上限，如果计算的,系数可能大于，这不符合相关系数要求，因此对： 分母表示选择（r-1）和（c-1）中较小的一个， 例：解：n=4022 c=2 r=7

二.等级相关系数的检验

（一）斯皮尔曼等级相关系数的检验 1.设总体斯皮尔曼等级相关系 ，则 ， 2.检验的统计量

当时，统计量 服从正态分布 （二）Gamma系数的检验 1.检验的原假设与备择假设

设总体中两个变量的Gamma等级相关系数为，则： 不相关， 。 2.检验统计量 当时，

（三）系数与d系数的检验

系数与Somer’s d系数以及Gamma系数分子部分相同，即同序对与异序对之差。S表示：，S表明了总体是否存在等级相关，因此可以用S值进行假设检验。 1.检验的原假设与备择假设 即总体中两个变量不相关， 2.检验的统计量 统计量：

其中，n样本容量，r,c行数和列数

：x边缘分布中，每两个频次乘积之和； ：y边缘分布中，每两个频次乘积之和； ：x边缘分布中，每三个频次乘积之和； ：y边缘分布中，每三个频次乘积之和。

例：用以下数据计算Somer’s d系数，并检验其显著性文化程度与对环境的交叉列表 43 44 37 124 56 67 57 180 203 199 91 493 22 17 9 48 18 14 5 37 342 341 199 882 解：n=882 r=3 c=5 ，

第十二章 类别变量与尺度变量关系的假设检验 —— 一元方差分析

如果将尺度变量视为因变量，将类别变量视为自变量，也称为影响因素变量。 类别变量与尺度变量之间关系的分析方法是比较在自变量取不同值时，因变量的平均值是否有差异，有差异，相关，差异不大或相等，无相关。

方差分析的目的就是要明确在样本中不同类别的平均值的差异达到多大时能够确认总体中自变量取不同值时，因变量的平均值差异显著。 第一节 方差分析的原理

方差分析思想是将样本的全部离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和。 组间离差平方和是各个类别的平均值差异，它的大小是由自变量决定的，自变理的影响作用越大，组间离差平方和就越大，组内离差平方和的大小是由自变量以外的其它因素导致的。 如果组间离差平方和大而且组内离差平方和小，就认为当自变量取不同水平时，因变量平均值的差异显著，两个变量存在相关，反之则认为两个变量不相关。 二.离差平方和的分解

设变量x和y，x类别变量 ,y尺度变量，随机抽样：，计算每个类别变量y的平均值。 不同类别的平均值统计表 组平均值

对所有的观测值计算平均值： 总平均值

总离差平方和是所有的个案相对总平均值的离差平方和， 用TSS表示：

组内离差平方和是每一类别中的个案相对于这个类别平均值的离差平方和，也称剩余平方和，它反映的是除自变量以外其它因素所导致的变化。 用RSS表示：

组间离差平方和以每一组的平均值取代了该组的全部个案计算相对于总平均值的离差平方和。它反映的是自变量对因变量的影响。 用BSS表示：

三者之间的关系为：

第二节 方差分析的假设检验 一.方差分析的原假设与备择假设

因为方差分析的目的是要明确总体中当自变量取不同值时，因变量的差异是否显著，因些方差分析的原假设是： 即：总体中各个类别的均值相等。 备择假设为：