椭圆与双曲线的经典性质50条--（必背的经典结论）

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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆6. 若P0(x0,y0)在椭圆

xaxa2222??ybyb?2222?1上，则过P0的椭圆的切线方程是

x0xa2?y0yb2?1.

?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

y0yb2弦P1P2的直线方程是7. 椭圆

xa22x0xa2?1.

?yb22?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

2?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?btan?2.

8. 椭圆

x22ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

?y22?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆

kOM?kAB??xa2222?yb22?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

ba22， 。

xa22即KAB??bx0ay012. 若P0(x0,y0)在椭圆

x0xa2?yb22?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

?y0yb2?x0a22?y0b22. xa2213. 若P0(x0,y0)在椭圆

?yb22?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

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xa22?yb22?x0xa2?y0yb2.

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P

在左支）

5. 若P0(x0,y0)在双曲线

x0xa2xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

?y0yb2?1.

6. 若P0(x0,y0)在双曲线

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线

x0xa2切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是7. 双曲线

xa22?y0yb2?1.

?yb22?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一

2点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?bcot12?2.

8. 双曲线

?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0) 2b当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

a2x2?y2当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是双曲线

xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的

bx0ay022中点，则KOM?KAB?12. 若P0(x0,y0)在双曲线

是x0xa2，即KAB?22bx0ay022。

xab222?yb?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程

?y0yb2?x0a22?y02.

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13. 若P0(x0,y0)在双曲线

xa22xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

?yb22?x0xa2?y0yb2.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

1. 椭圆

xa22?yb22?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线

xa22交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2. 过椭圆

xa22?yb22?1.

?yb22?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交

bx0ay022椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?xa22（常数）.

3. 若P为椭圆?yb22?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

a?ca?c?PF1F2??, ?PF2F1??，则

?tan?2cot?2.

4. 设椭圆

xa22?yb22?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任

意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?sin??si?nxa22?ca?e.

5. 若椭圆?yb22?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜

e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为椭圆

xa22?yb22?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7. 椭圆

(x?x0)a22?(y?y0)b22?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是

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Aa?Bb?(Ax0?By0?C).

222228. 已知椭圆

1xa22?yb22（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.?11112

2

（1）（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S?OPQ的??2?2;222a?b|OP||OQ|ab最小值是9. 过椭圆

xa224ab22ab2222a?b?yb22.

的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN?1（a＞b＞0）

|PF||MN|?e2的垂直平分线交x轴于P，则10. 已知椭圆

xa22.

?yb22?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

a?ba22线与x轴相交于点P(x0,0), 则?xa22?x0?a?ba22.

11. 设P点是椭圆?yb22?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?2b21?cos?.(2) S?PFF?btan122?2.

12. 设A、B是椭圆

x22ab?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2ab|cos?|a?ccos?2222?y22?PAB??, （ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?1(1)|PA|?.(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?22ab2222b?acot?.

13. 已知椭圆

xa22?yb22的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的?1（ a＞b＞0）

直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离

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