04 - 三角函数及三角恒等变换（共46页）

=cosx2

?1?sinx?2cos2x?sinx?(1?cosx)2sin2x

=cosx2

1?sinx1?cosx+sinx2.

cosxsinx∵x∈??,??17??，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx. 12??1?sinx1?cosx+sinx2

?cosx?sinx∴g（x）=cosx2

=sinx+cosx-2=2sin?x?（2）由?＜x≤∵sint在?sin

?????-2. 4?17?5??5?，得＜x+≤.

43124?5?3???3?5??,?上为减函数，在?,?上为增函数， ?42??23?5?5?＜sin, 345?3????≤sin?x??＜sin

424????17????x???,????

?12???∴sin

2, ?＜-24????∴-2-2≤2sin?x??-2＜-3,

4??即-1≤sin?x?????故g（x）的值域为［-2-2，-3）.

§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切

基础自测

1.已知sin?=答案 ?3sin2a???,且?∈?,??，那么的值等于 . 5cos2a?2?3 22.已知tan(?+?)=3，tan(?-?)=5，则tan2?= . 答案 -

4 7?3?），若sin?=，则2cos（?+）= . 2453. 设?∈（0，答案

1 54.（20082山东理）已知cos???答案 ?????47??3,则sin????+sin?=56?6???的值是 . ?4 5

5.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为 . 答案 ?

例1 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］22sin280?的值.

例2 已知cos(??解 ????2)=-

1?2?????,sin(-?)=,且＜?，?＜，求cos的值.

222293??????????, ???????2??22?∵

??＜?＜π,0＜?＜ 22∴

?????＜?-＜π,- ＜-?＜.

24424??∴sin???????452?, ?=1?cos????=292???cos?5?????? ???=1?sin2????=

?2?3?2?∴cos??????????????????75. ?=cos????cos????+sin????sin????=

2?2??2???2???2?27510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510510,sinB=， 510例3 (14分)若sinA=

解 ∵A、B均为钝角且sinA=

∴cosA=-1?sin2A=-

25=-

25， 5cosB=-1?sin2B=-

6分

310=-

310， 10

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB =??

?25??310??3???-5310=2

???5?210???10?5① 10分

又∵

??＜A＜?, ＜B＜?, 22

12分

∴?＜A+B＜2? ②

由①②知，A+B=

7?. 4

14分

2222

例4 化简sin?2sin?+cos?cos?-

1cos2?2cos2?. 2解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）

2222

原式=sin?2sin?+cos?2cos?-

122

2(2cos?-1)2(2cos?-1) 22222

=sin?2sin?+cos?2cos?-

12222

(4cos?2cos?-2cos?-2cos?+1) 21 2222222

=sin?2sin?-cos?2cos?+cos?+cos?-

22222

=sin?2sin?+cos?2sin?+cos?-

1 222

=sin?+cos?-

111=1-=. 2221cos2?2cos2? 2方法二 （从“名”入手，异名化同名）

2222

原式=sin?2sin?+(1-sin?)2cos?-

2222

=cos?-sin? (cos?-sin?)-

1cos2?2cos2? 222

=cos?-sin?2cos2?-

1cos2?2cos2? 21??2

=cos?-cos2?2?sin2??cos2?)?

2??=

1?cos2?1??-cos2?2?sin2??(1?2sin2?)? 22??=

1?cos2?11-cos2?=. 2221?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?12+2-cos2?2cos2?

22222方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式==

11（1+cos2?2cos2?-cos2?-cos2?）+ (1+cos2?2cos2?+cos2?+cos2?)- 44112cos2?2cos2?=. 22方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

原式=(sin?2sin?-cos?2cos?)+2sin?2sin?2cos?2cos?-2

1cos2?2cos2? 2=cos(?+?)+

2

11sin2?2sin2?-cos2?2cos2? 2212cos(2?+2?) 2112

2［2cos(?+?)-1］=. 22=cos(?+?)-22

=cos(?+?)-

22

1.不查表求sin20°+cos80°+3sin20°cos80°的值.

22

解 sin20°+cos80°+3sin20°cos80°

=

11 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 22