04 - 三角函数及三角恒等变换（共46页）

y=sin

?1x图象上所有的点向右平移个单位，

22?1?x???x??(x-)=sin???的图象，最后将y=sin???的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3

22?24??24?得到y=sin

???1倍（横坐标不变），就得到y=3sin?x??的图象.

4??2（3）周期T=

2??=

?2?=4?，振幅A=3，初相是-. 142(4)令

1??x?=+k?(k∈Z), 242得x=2k?+令

3?(k∈Z),此为对称轴方程. 21??x-=k? (k∈Z)得x=+2k?(k∈Z). 242???对称中心为?2k??,0?(k∈Z).

2??2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜ 式为 .

?,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达 2????答案 y=-4sin?x??

4??83.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x (其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=

1时,f(x)取得最大值2. 3（1）函数f(x)的表达式；

?2123?（2）在闭区间?,?上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.

?44?解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A2?B2sin(?x??) 由T=

2??=2知?=?，

又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（?x+?）. 由x=

1???时f（x）max=2，得sin????=1， 3?3?????.∴f（x）=2sin??x??. 66????=k?+（k∈Z）得对称轴方程为

26∴?=

（2）令?x+x=k+即

112321，由对称轴满足≤k+≤（k∈Z）

44335965≤k≤且k∈Z，∴k=5. 1212?2123?故在?,?上f（x）只有一条对称轴.

?44?x=5+

11616=，即对称轴方程为x=. 333

一、填空题

1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .

???答案 y=cos?2x??

6?????2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos?2x??的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平移

3??个单位长度. 答案 左

5? 12????2

3.（20082湖南理，6）函数f(x)=sinx+3sinxcosx在区间?,?上的最大值是 .

?42?答案

3 24.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 . 答案 f′(0)=0

???15.函数y=3sin?x??的周期、振幅依次是 3??2答案 4?、3

?????????6.若函数f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f??x?=f??x?，则f??= .

?6??6??6?答案 -2或2

7.（20082辽宁理，16）已知f(x)=sin??x????????????????(?＞0),f??=f??,且f(x)在区间?,?上有最小3??6??3??63?值，无最大值，则?= . 答案

14 31 28.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 . 答案 2?-

二、解答题

9.是否存在实数a，使得函数y=sinx+acosx+a值；若不存在，说明理由. 解 y=1-cosx+acosx+

22

2

53???a-在闭区间?0,?上的最大值是1？若存在，求出对应的82?2?53a- 82a?a251??a? =??cosx???2?482?当0≤x≤若

?时，0≤cosx≤1， 2a＞1,即a＞2,则当cosx=1时 2ymax=a+若0≤

3520＜2(舍去). a-=1,∴a=

2813aa≤1，即0≤a≤2,则当cosx=时, 223a251ymax=?a?=1,∴a=或a=-4(舍去).

2482a若＜0,即a＜0时,则当cosx=0时, 2ymax=

5112a?=1,∴a=＞0(舍去). 8253符合题设. 2综上所述,存在a=

?x??2

10.已知函数f(x)=sin（?x+）+sin（?x-）-2cos2,x∈R(其中?＞0).

66(1)求函数f(x)的值域；

(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x),x∈(a,a+?］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间. 解 （1）f(x)=

3131sin?x?cos?x?sin?x?cos?x?(cos?x?1) 2222=2??3?1sin?x?cos?x?-1 ?2?2??=2sin??x?????? -1.

6?由-1≤sin??x?????????≤1,得-3≤2sin??x??-1≤1. 6?6??2?=?,即得?=2.

可知函数f(x)的值域为［-3，1］.

（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为?,又由?＞0,得于是有f(x)=2sin?2x???????-1,

6?再由2k?-解得k?-

???≤2x-≤2k?+(k∈Z)， 262??≤x≤k?+(k∈Z). 63??所以y=f(x)的单调增区间为?k???6,k????3??(k∈Z).

11.（20082安徽理，17）已知函数f(x)=cos?2x????????????+2sin?x??2sin?x??.

4?4?3???(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

????(2)求函数f(x)在区间??,?上的值域.

?122?解 （1）∵f（x）=cos?2x????????????+2sin?x??2sin?x??

4?4?3???===

13cos2x+sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx) 221322

cos2x+sin2x+sinx-cosx 2213???cos2x+sin2x-cos2x=sin?2x??. 226??2?=?. 2=k?+

∴周期T=由2x??6k???(k∈Z),得x=?(k∈Z).

232k???(k∈Z). 23∴函数图象的对称轴方程为x=

???5??????(2)∵x∈??,?，∴2x?∈??,?. 122366???????????????∵f（x）=sin?2x??在区间??,?上单调递增，在区间?,?上单调递减，

6???123??32?∴当x=

?时，f(x)取得最大值1, 33???1???又∵f???=-＜f??=, 2?12??2?2∴当x=??12时，f(x)取得最小值-

3. 2?3?????∴函数f(x)在??,?上的值域为??,1?.

2?122?????12.（20082湖北理，16）已知函数f(t)=

1?t?17??，g(x)=cosx2f(sinx)+sinx2f(cosx),x∈??,?. 1?t12??（1）将函数g(x)化简成Asin(?x+?)+B(A＞0, ?＞０, ?∈［0，2?)）的形式；

（2）求函数g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx2

1?sinx1?cosx?sinx?

1?sinx1?cosx