04 - 三角函数及三角恒等变换（共46页）

将x-

?视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 4?≤?+2k?, 4可知2k?≤x-解得2k?+

?5?≤x≤+2k?,k∈Z. 44?5???所以定义域为?x|2kx??x??2k?,k?Ζ?.

44??例2 求下列函数的值域： （1）y=

sin2xsinx;

1?cosx(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;

???(3)y=2cos????+2cosx.

?3?2sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)解 （1）y==

1?cosx1?cosx1?1?=2cosx+2cosx=2?cos??-.

2?2?2

2于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且ymin=-

11,当且仅当cosx=-时取得. 22?1?故函数值域为??,4?.

?2?（2）令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx, 即sinxcosx=

2

t2?1. 2t2?11有y=f(t)=t+=(t?1)2?1.

22???又t=sinx+cosx=2sin?x??，

4??∴-2≤t≤2. 故y=f(t)=

1(t?1)2?1(-2≤t≤2), 2从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+

1. 21??即函数的值域为??1,2??.

2?????（3）y=2cos??x?+2cosx

?3?=2cos

??cosx-2sinsinx+2cosx 33=3cosx-3sinx

=23??3?cosx?1sinx??

?22??=23cos???x???6??.

∵cos???x???6??≤1

∴该函数值域为［-23，23］.

例3 （14分）求函数y=2sin????x??的单调区间.

?4?解 方法一 y=2sin????x??化成

?4?y=-2sin???x???4??.

∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为

???2k?????2,2k??2??（k∈Z), ???2k???3??2,2k??2?? (k∈Z), 分

∴函数y=-2sin?????x?4??的递增、递减区间分别由下面的不等式确定

2k?+

?2≤x-?4≤2k?+3?2（k∈Z), 即2k?+3?4≤x≤2k?+7?4（k∈Z), 2k?-

?2≤x-?4≤2k?+?2（k∈Z), 即2k?-

?4≤x≤2k?+3?4（k∈Z).

∴函数y=2sin?????3???4?x?的单调递减区间、单调递增区间分别为????2k??4,2k??4??（k∈Z), ???2k??3?k??7??4,24??（k∈Z).

方法二 y=2sin???4?x??可看作是由y=2sinu与u=??x复合而成的.

??4又∵u=

?4?x为减函数，

∴由2k?-?2≤u≤2k?+?2（k∈Z), -2k?-

?34≤x≤-2k?+?4 (k∈Z). 1分

4

8分

12分

14分 2分

?3??????即??2k??,?2k??（k∈Z）为y=2sin??x?的递减区间. ?44??4??由2k?+即2k?+-2k?-

?3?≤u≤2k?+ (k∈Z), 22??3?≤-x≤2k?+ (k∈Z)得 2425??≤x≤-2k?- (k∈Z), 445???????即??2k??,?2k???（k∈Z)为y=2sin??x?的递增区间.

44??4?????综上可知：y=2sin??x?的递增区间为

?4?5????； ?2k??,?2k????（k∈Z）44?? 12分

?3???递减区间为??2k??,?2k??（k∈Z）.

44???

1.求f(x)=1?2cos(?x)的定义域和值域. 2 14分

?2???解 由函数1-2cos??x?≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域

2?2?是

5?????x?2k??,k?Z ?x|2k???. 44??2???当sinx=cos??x?=时，ymin=0;

22?????当sinx=cos??x?=-1时，ymax=1?2.

?2?所以函数的值域为［0，1?2］.

2cos4x?3cos2x?12.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.

cos2x解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+解得x≠

k???（k∈Z）. 24?， 2所以f(x）的定义域为

k????x ? ?xx?R , 且 ?,k?Z ? .

24??2cos4x?3cos2x?1(2cos2x?1)cos2x?1又f（x)= =

cos2xcos2x=cosx-1=-sinx.

又定义域关于原点对称，∴f（x）是偶函数. 显然-sinx∈［-1，0］，但∵x≠∴-sinx≠-2

2

2

2

k???,k∈Z. 241. 2所以原函数的值域为

11???y|?1?y??或??y?0?.

22?????3.（1）求函数y=sin??2x?的单调递减区间；

?3???x?（2）求y=3tan???的周期及单调区间.

?64????解 （1）方法一 令u=??2x?,y=sinu，利用复合函数单调性，

?3?由2k?-2k?--k?-

???≤-2x+≤2k?+(k∈Z),得 2235??≤-2x≤2k?+（k∈Z), 66?5?≤x≤-k?+ (k∈Z),

1212即k?-

?12≤x≤k?+

5?（k∈Z). 12∴原函数的单调递减区间为

?5????k??12,k??12? (k∈Z). ????????方法二 由已知函数y=-sin?2x??,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin?2x??的单调递增区间.

3?3???由2k?-

???≤2x-≤2k?+（k∈Z), 223解得k?-

?12≤x≤k?+

5?（k∈Z). 12?5???∴原函数的单调递减区间为?k??,k??（k∈Z）.

1212?????x??x??（2）y=3tan??? =-3tan???,

?64??46?∴T=

???x?=4?,∴y=3tan???的周期为4?. ??64???x?＜?＜k?+， 22464?8?＜x＜4k?+ (k∈Z),

33由k?-

得4k?-