数列通项公式的求法（有答案）

?an?22n?1

练习3:（1）数列?an?满足a1?1，an?1?an?2n，则数列?an?的通项公式为

an? 。

解：an?n2?n?1 （2）数列?an?满足a1?11，an?1?an?2，则数列?an?的通项公式为2n?nan? 。

an?1?an? 解：

1111131???，累加得，a?a?1??a?? n1n2n2nn?nn(n?1)nn?1an?1?f(n)的数列的通项求解，可用累乘法，即令an （2）累乘法：对于形如

n?1,2,3,4??,n?1.得到n?1个等式累乘求得通项。

例6 已知数列?an?满足a1?2n，an?1?an，求数列?an?的通项公式。 3n?1 解：由已知得：等式累乘之，即

an?1n?，分别令n?1,2,3,4??,n?1，代入上式得n?1个ann?1aa2a3a4123n?1??????n???????， a1a2a3an?1234nan122???a??a? ，又1，，n?N na1n33n

练习4. 已知数列?an?满足a1?1，an?n(an?1?an),n?N?，则数列?an?的通项

公式为an? . an?1n?1? 解： 由已知得，累乘可得an?n . ann （3）构造法：求形如an?1?pan?q（p、q为常数）或形如an?1?pan?f(n)的

数列通项，可以构造新数列，使得新数列是等差数列或是等比数列，从而求得

通项。

an?1 例7 （2014新课标2）已知数列?an?满足a1?1，

是等比数列，并求数列?an?的通项公式。

解：由an?1?3an?1得an?1?1??a??3an?1，证明数列?n?

2??131113?3an?，即an?1??3(an?)，又a1??，2222221?3?a?所以数列?n? 是首项为，公比为3的等比数列

22??1n?a?(3?1)，n?N? n2 练习5. 已知数列?an?的前n项和Sn?2an?2n?1，求数列?an?的通项公式。

2 解：当n?1时，a1?2a1?2，?a1?4；当n?2时，?Sn?2an?2n?1，

?Sn?1?2an?1?2n，两式相减得：an?2an?2an?1?2n，

?an?2an?1?2n，两边同除以2n，得：

anan?1a1?an???1.(n?2)?2，又，??n?是nn?11222?2?ann?a?(n?1)?2?2?(n?1)?1?n?1， nn2?以2为首项、以1为公差的等差数列。

（三） 求数列通项公式 课后练习

1.（2013课标1）已知等差数列?an?的前3项和Sn，且S3?0，S5??5.求?an? 的通项公式。

2 2．（2013全国大纲卷）已知等差数列?an?的前n项和Sn，且S3?a2，S1，S2，

S4成等比数列，求?an? 的通项公式。

3.（2013天津）已知首项为3的等比数列?an?不是递减数列，其前n项和为Sn，

2S3?a3，S5?a5，S4?a4成等差数列，求?an? 的通项公式。

4．（2014山东）已知等差数列?an?的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，求?an? 的通项公式。 5. 已知数列?an?的前n项和Sn，且Sn?6. 已知数列?an?满足

项公式。

2an?a1?S1?Sn，7.（2013湖南）设Sn为数列?an?的前S3?a3n项和，已知a1?0，

3(an?1)，求?an? 的通项公式。 2123n32n???????(3?1),n?N?.求?an? 的通a1a2a3an8n?N?，求?an? 的通项公式。

8. 已知数列?an?的前n项和Sn，且a1?2，Sn?an?1?n?2，n?N，求?an? 的

?通项公式。

9.（2009全国卷2）已知等差数列?an?的前n项和Sn，且a1?1，Sn?1?4an?2， （1）证明?an?1?2an?是等比数列。 （2）求?an? 的通项公式。

1n?110.(2009全国卷1)在数列?an?中，a1?1，an?1?(1?)an?n.

n2 （1）设bn?an，求数列?bn? 的通项公式。 n （2）求数列?an?的前n项和Sn。

（四）课后练习答案

1. an?2?n 6. an?

2．an?3，或an?2n?1 7. an?2n?1 3. an?n32n?1

31?(?)n?1 8. an?2n?1?1 22

4. an?2n?1 9.

5. ann?3 10.

a?2n?(3n?1)?2n （1）bn?2?12n?1

（2）Sn?n(n?1)?n?22n?1?4