数列通项公式的求法（有答案）

数列通项公式的求法

一、 近6年全国卷（2009——2014）求数列通项公式的试题概览

年份 2009卷1 试题特点或已知条件 类型或方法 1n?1a?p(n)?an?q(n)转化，累加a1?1,an?1?(1?)an?n n?1n2法 a1?1,Sn?1?4an?2 an?1?p?an?r?qn，Sn与an的关2009卷2 系，构造等差数列 2010卷1 a1?1,an?1?51? 2anan?1?p?an?q，转化，构造等比数列 an?1?an?p?qn累加法 2010新课标 2011新课标 a1?2,an?1?an?3?22n?1 ?an?是等比数列，定义法，an?a1qn?1 22a1?3a2?1,a3?9a2a6 2012全国卷 xn?1?4xn?3 xn?2an?1?p?an?q，转化，构造等比数列 Sn与an的关系，定义法，an?a1qn?1 2013课标1 Sn?21an? 332013课标2 ?an?是等差数列，a1?25，a1，a11，a13成等比数列 定义法，an?a1?(n?1)d 2013大纲卷 ?an?是等差数列，S3?a22，S1，S2，S4成等比数列 定义法，an?a1?(n?1)d 2014课标1 ?an?是等差数列，a2，a4是定义法an?a1?(n?1)d 方程x2?5x?6?0的根 2014课标2 a1?1,an?1?3an?1 an?1?p?an?q，构造等比数列

二、 数列通项公式的求法

（一）数列的通项公式：如果数列?an?的第n项an和项数n之间的函数关系可以

用一个公式an?f(n)来表示，这个公式叫做数列的通项公式。

（二） 数列通项公式的求法

数列的通项公式是数列的核心之一。在很多情况下，各种数列综合问题的求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数列综合问题的突破口和关键。求数列通项公式的方法和类型通常归结为一下几种： 1．观察法 通过观察数列各项与项的序号的关系，找出各项共同的规律特征，归纳出通项公式的方法。

2.定义法 已知数列为等差数列或等比数列时，由已知条件求出首项和公差或公比代入等差数列或等比数列的通项公式求得。 (1）等差数列：an?a1?(n?1)d，或an?am?(n?m)d

（2）等比数列：an?a1qn?1，或an?amqm

例1 （2013新课标全国卷）已知等差数列的公差不为0，a1?25，且a1，a11，

a13成等比数列，求数列?an?的通项公式。

2?a1a13，解： 设?an?的公差为d?d?0?,由a1，a11，a13成等比数列得a11?(a1?10d)2?a1(a1?12d)，?d(2a1?25d)?0，?d?0,a1?25

?d??2，

an??2n?27,(n?N?)

例2 （2014全国卷）等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?10，a2为整数，

且Sn?S4，求?an?的通项公式。

解： 由a1?10，a2为整数，知等差数列?an?的公差d为整数。又因为Sn?S4，

?10?3d?0105所以，a4?0且a5?0.??,解得??d??. ?d??3

32?10?4d?0?an?a1?(n?1)d?10?3(n?1)??3n?13, ?an??3n?13,n?N?.

练习1：（1）设?an?是公比大于1的等比数列，Sn为?an?的前n项和。已知

S3?7，且a1?3，3a2，a3?4成等差数列，求数列?an?的通项公式。

?a1?a2?a3?72解： 由已知得?，?a2?2. 设?an?的公比为q，则a1?，

q?a1?3?a3?4?6a2a3?2q，代入a1?a2?a3?7，得?an?2n?1，n?N?.

21?2?2q?7，?q?2或q?(舍去)，q2（2）(2013.湖北高考)已知Sn是等比数列?an?的前n项和，S4，S2，S3 成等差数列，且a2?a3?a4??18，求?an?的通项公式。 解：因为S4，S2，S3 成等差数列，所以2S2?S4?S3

?2(a1?a2)?2(a1?a2?a3)?a4，?2a3?a4?0，?a4??2a3，?q??2

又?a2?a3?a4??18，?a1q?a1q2?a1q3??18，?a1?3

?an?a1qn?1?3?(?2)n?1，?an?3?(?2)n?1，n?N?

3.公式法 若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项公式可

?S1,(n?1)用公式an??求解。

S?S,(n?2)n?1?n例3 （2013.全国卷）若数列?an?的前n项和为Sn?项公式为an? 。 解：当n?1时，a1??Sn?1?21an?，则数列?an?的通332121a1?n，a1?1；当n?2时，?Sn?an?. 3333a2122an?1?，两式相减，得an?an?an?1，?an??2an?1，?n??2

an?13333所以?an?为等比数列，公比q??2，首项a1?1，?an?a1qn?1?(?2)n?1. 例4 已知Sn为正项数列?an?的前n项和，且满足Sn?数列?an?的通项公式。

121an?an，n?N?，求22121a1?a1，即a12?a1，又a1?0，?a1?1 22121121当n?2时,因为Sn?an?an，所以Sn?1?an?an?1.两式相减得： ?1222212112122?anan?an?an?an?an?1，整理得：an?1?an?an?1?0 ?12222解：当n?1时，a1??(an?an?1)(an?an?1)?(an?an?1)?0，(an?an?1)(an?an?1?1)?0

又?an?0，?an?an?1?1，??an?为等差数列，d?1，又a1?1，an?n 练习2：（1）已知数列?an?的前n项和Sn?3n?2，求数列?an?的通项公式。 解：当n?1时，a1?1.当n?2时,因为Sn?3n?2，所以Sn?1?3n?1?2.两式相

?1,(n?1)减得：an?3n?3n?1?2?3n?1，又a1?1不适合上式，?an??. n?1?2?3,(n?2) （2）（2013。江西高考）正项数列?an?的前n项和Sn满足：

2Sn?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0.求数列?an?的通项公式。

2?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0，所以Sn?(n2?n)(Sn?1)?0 解：因为Sn???Sn?0，?Sn?n2?n，可求得an?2n,n?N?

4.其他方法

对于由递推公式确定的数列，通常可以对递推式进行变形、转化（构造）为等

差数列或等比数列的问题得以解决。 （1）累加法：求形如an?an?1?f(n)（其中f(n)可求和）的数列的通项。可用累

加法，即令n?2,3,4??,n，得到n?1个等式累加求得通项。

例5 (2010全国新课标)设数列?an?满足a1?2，an?1?an?3?22n?1，n?N?求

数列?an? 的通项公式。

解：因为an?1?an?3?22n?1，n?N?，分别令n?1,2,3,4??,n?1.代入上式，得

n?1个等式累加，即:

(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????(an?an?1)?3?21?3?23?3?25????3?22n?3 ?an?a1?3(2?2?2????2352n?32(1?4n?1))?3??22n?1?2,又?a1?2

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