2009六年级组初试试卷解答

2009“数学解题能力展示”读者评选活动

六年级组初试试卷解答

一、

1. 计算25?? 答案：12

解答：由

111??1???????____________。 1?33?55?723?25??11?11??????，得：

n?(n?2)2?nn?2?111??125????????23?25??1?33?55?71?1111111??25???1??????????2?335572325? 1?1??25???1??2?25??122. 有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径。如果射击时

命中，那么最里面的小圆得10环，命中最外面的圆得1环。得1环圆环的面积是10环圆面积的________倍。 答案：19

解答： 10个同心圆的半径比是1：2：3：4：5：6：7：8：9：10，得1环圆环的面积

102???92???19倍。 是10环圆面积的

12??

3. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28

本书包成一捆，最后一捆还差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本。你们这批图书共有________本。 答案：670

解答：如果多两本书，那么不论是24、28还是32本每捆打包，总能刚好打成捆，这样

图书总数同时是24、28、32的整数倍。由于[24，28，32]=672，且图书总数在1000以内，故增加两本后图书总数就是672，原图书总数是670. 4. 如果甲商品价格的25%比乙商品价格的25%多25%；那么，乙的价格比甲的价格少_____% 答案：20

解答：甲商品的价格的25%比乙商品价格的25%多25%，也就是甲商品价格比乙商品价

格多25%，把乙的价格当成1份，则甲的价格是1.25份，从而乙的价格比甲的价格少

1.25?1?100%?20%。 1.255. 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，右图中所示的只是3个五边形。那么要完

成这一圈共需____________个正五边形。

答案：10

解答：正五边形的每个内角的度数为（5-2）×180°÷5=108°，因此内部多边形的每个内角都是360°-108°×2=144°，由于多边形外角和为360°，因此此多边形边数为360°÷（180°-144°）=10，即需要10个正五边形。（另解：可由多边形内角和公式，144°×n=180°×（n-2），解得n=10） 二、

8?9?109?10?1110?11?1211?12?13???789106. 计算：?_______________。

1111???78910 答案：6 解答：解法一：由

8?9?101?2?36?3??3?，类似可得7779?10?11610?11?12611?12?136 ?3?;?3?;?3?88991010;6??6??6??6??原式分子??3????3????3????3??7??8??9??10??6666???? 78910?6?分母所以原式=6 解法二：

?9101112?原式分子?3???????78910?2??222?3??1?1?1?1??78910??2222??3???????78910??1111??3?2???????78910??6?分母

所以原式=6

7. 将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行

每列都有棋子，那么共有_________种不同放法。

123456789101112

答案：432

解答：解法一：

5枚棋子放四行，每行都有，一定是有一行2枚，另三行每行各1枚；同理，有一列2枚，另三列每列各1枚；

（1） 如图1，1行2枚和1列2枚有1枚有重复的。

按①，②，③，④⑤的顺序选格，有： 16×3×3×2=288（种）

（2） 如图2，1行2枚和1列2枚有1枚无重复的。

按⑤，“标志格”的顺序选格，有：16×9=144（种） 综上所述，共288+144=432（种）。

①②③④⑤标①②③④⑤

图1 图2

解法二：

2显然必有一行放了两枚棋子，选出该行有4种选法，然后确定那行的两棋子位置有C4?6种

放法（不妨设它们是图1中的①，②）。还余下三枚：

（1） 如果三枚中有1枚③与①，②之一同列，它有6种放法，余下两枚有2种放法； （2） 如果三枚都不在①，②所在的两列，则它有6种放法；

所以一共有6×4×（6×2+6）=432种不同的放法。 8. 在算式,??（A?B）△（C○D）△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A,B,C,D是4个互不相同的非零阿拉伯数字。如果无论??△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，的计算结果都是整数。那么，（A?B）△（C○D）四位数ABCD是______________.

答案：9321

解答：容易看出A一定是B的倍数，二C一定是D得倍数。 如果D至少是2,那么C至少是4，考虑算式（A-B）÷(C×D)，可知只能是D=2，C=4,A=9,B=1,但此时（9×1）÷（4-2）不是整数，不满足要求。

因此D只能是1，考虑算式（A-B）÷（C×1）和（A-B）÷（C+1）可知A-B是C和C+1的倍数，由于（C，C+1）=1，所以A-B是C×（C+1）的倍数，从而C=2，A-B=6，再由A是B的倍数可知A=9，B=3，于是ABCD=9321

9. 如果一个五位数，它的各位数字成积恰好是他的各位数字和的25倍。那么，这个五位数的最大值是____________。 答案：75531

解答：解法一：该五位数数字和不可能为0，所以数字中无0；数字乘积要是数字和的25倍，所以至少两个5.设另三个数字为a≥b≥c，则有：

a?b?c?5?5?(a?b?c?5?5)?25,即a?b?c?a?b?c?10

（1） 若a=9，则a?b?c?10至少21，至多37，从而b×c=3或4，均无解； （2） 若a=8，则a?b?c?10至少20，至多37，从而b×c=3或4，均无解； （3） 若a=7，则a?b?c?10至少19，至多37，从而b×c=3或4或5：

b×c=3，得b=3，c=1，恰好满足，此时的最大值75531； b×c=4，b+c为28-10-7=11，无解； b×c=5，b+c为35-10-7=18，无解。

综上所述，这个五位数的最大值是75531. 解法二：（这里我们将求出五位数的所有可能值！） 同解法一，类似可得

a?b?c?a?b?c?10（*） （1） 当c≥2时：

若b=2，则c=2，代入（*）式中，可求得a=

14，不是整数； 3若b≥3，则等式左边≥3×2×a=6a，又等式右边≤3a+10，因此可得

6a≤3a+10，又a≥b≥3，所以a=3，于是b=3，代回（*）式中求得c=2；