(浙江专用)最新2020-2021高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案

15．(2018·浙江省台州中学统练)设m，k为整数，方程mx－kx＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根，则当m＋k取到最小值时，m＝________，k＝________. 答案 6 7

解析 设f(x)＝mx－kx＋2，则方程mx－kx＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根等价于函数f(x)＝mx－kx＋2在(0,1)内有两个不同的零点，又因为f(0)＝2>0，

2

2

2

2

??f?1?＝m－k＋2>0，所以有?k0<<1，2m???－k?－8m>0，

2

m>0，

m>0，

??m－k＋2>0，化简得?2m>k>0，

??k－8m>0，

2

m>0，

??m－k＋2>0，

以m为横坐标，k为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组?2m>k>0，

??k－8m>0

2

所表示的

平面区域如图中阴影部分(不包括边界)所示，又因为m，k为整数，则由图易得当目标函数z＝m＋k经过平面区域内的点(6,7)时，z＝m＋k取得最小值zmin＝6＋7＝13，此时m＝6，k＝7.

16．已知a>b，二次三项式ax＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax0＋2x0

2

2

a2＋b2

＋b＝0成立，则的最小值为________．

a－b答案 22

解析 由题意，得a>b，二次三项式ax＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以a>0，且Δ＝4－4ab≤0，所以ab≥1.由存在x0∈R，使ax0＋2x0＋b＝0成立，可得Δ＝0，所以ab＝1，所以a>1，

2

2

a＋b所以＝

a－b22

a2＋

1

a2a4＋1

＝3>0， 1a－aa－

a 17

484

a4＋1

所以?

?a＋1a4＋2

?a3－a??

2＝a＋1＋2a?a6＋a2－2a4

＝

a2

＋1

a2－2

??a2＋122??＝?a???a2＋11a2－2??2＋4??a2＋a2??－4?＝??????a2＋11，

a2???－2???a2＋a2???

－2令a2

＋1a2＝t>2，

42

则??a＋1a?2?t－2?＋4?t－2?＋4?a3－??

＝

t－2＝(t－2)＋4t－2＋4 ≥2

?t－2?·4

t－2

＋4＝4＋4＝8， 当且仅当t＝4时取等号，所以??a4

＋1?a3－a??2

?

的最小值为8，所以a2＋b2

a－b的最小值为22.

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