(浙江专用)最新2020-2021高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案

x≤1，??

直线λx－y＋2λ－2＝0恒过定点(－2，－2)，由图易得不等式组?y≤3，

??λx－y＋2λ－2≥0

表

示的平面区域为阴影部分在直线λx－y＋2λ－2＝0下方的部分，当λ>1时，不等式组表示2

的平面区域经过四个象限；当<λ≤1时，不等式组表示的平面区域不经过第二象限；当

32

0≤λ≤时，不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限；当λ<0时，不等式组表示的

3平面区域不经过第一象限，所以实数λ的取值范围是(1，＋∞)，故选D.

x≤m，??

(2)(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组?x＋y≥0，

??2x－y≥0

(m>0)

表示的平面区域为Ω，P(x，y)为Ω上的点，当2x＋y的最大值为8时，Ω的面积为( ) A．12 B．8 C．4 D．6 答案 D

解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m，－m)，(m,2m)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(m,2m)时，z＝2x＋y取得最大值，所以2m＋2m＝8，解得m＝2，则此时平面区域Ω的1

面积为×2×(4＋2)＝6，故选D.

2热点三 绝对值不等式及其应用 1．绝对值不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法． 2．绝对值三角不等式

(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时等号成立．

(2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

5

1??例3 (1)(2018·宁波期末)若函数f(x)＝?|x|－?在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，

?x?

最小值为m，则M－m等于( ) 7911

A. B．2 C. D. 444答案 C

1?1???解析 因为f(x)＝?|x|－?≥0，当x＝1时，等号成立，所以m＝0.又因为f(x)＝?|x|－??x??x?

11?1?≤||x||＋??＝|x|＋，当x<0时等号成立．设t＝|x|，g(t)＝t＋(1≤t≤4)，则g′(t)

|x|t?x?12t1t?2t?233

,－2＝令g′(t)＝＝0，得t＝4，所以函数g(x)在[1，4]上单调递减，223232＝

t2t2t993

在(4，4]上单调递增，且g(1)＝2，g(4)＝，所以g(t)在[1,4]上的最大值为，所以当x＝

441?99?－4时，f(x)＝?|x|－?取得最大值M＝，所以M－m＝，故选C.

x?44?

(2)已知m∈R，要使函数f(x)＝|x－4x＋9－2m|＋2m在区间[0,4]上的最大值是9，则m的取值范围是__________． 7??答案 ?－∞，?

2??

解析 不等式即为|x－4x＋9－2m|＋2m≤9，x∈[0,4]， 等价于|x－4x＋9－2m|≤9－2m，x∈[0,4]， 2m－9≤x－4x＋9－2m≤9－2m，x∈[0,4]， 4m－18≤x－4x≤0，x∈[0,4]， 结合函数的定义域可得(x－4x)min＝－4， 7

据此可得4m－18≤－4，m≤，

27??即m的取值范围是?－∞，?. 2??

思维升华 (1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件．

(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定．

跟踪演练3 (1)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C

2

222

2

2

6

解析 |x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| ≥|(x－1)－x|＋|(y－1)－(y＋1)|＝3， 当且仅当0

1322

(2)(2018·杭州质检)设函数f(x)(x∈R)满足|f(x)－x|≤，|f(x)＋1－x|≤，则f(1)＝

44________. 3

答案

4

12

解析 由题意得|f(1)－1|≤，①

432

|f(1)＋1－1|≤，②

4

3533由①得≤f(1)≤，由②得－≤f(1)≤，

44443所以f(1)＝.

4

真题体验

1．(2016·上海)设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为__________． 答案 (2,4)

解析 由－1

x≥0，??

2．(2017·浙江改编)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0，

??x－2y≤0，

____________． 答案 [4，＋∞)

则z＝x＋2y的取值范围是

解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示．

7

1z由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.

22所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．

3．(2016·浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是________．(填序号) ①若|a＋b＋c|＋|a＋b＋c|≤1，则a＋b＋c<100； ②若|a＋b＋c|＋|a＋b－c|≤1，则a＋b＋c<100； ③若|a＋b＋c|＋|a＋b－c|≤1，则a＋b＋c<100； ④若|a＋b＋c|＋|a＋b－c|≤1，则a＋b＋c<100. 答案 ④

解析 对①，当a＝b＝10，c＝－110时，此式不成立； 对②，当a＝10，b＝－100，c＝0时，此式不成立； 对③，当a＝10，b＝－10，c＝0时，此式不成立． 故填④.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a4＋4b4＋1

4．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

ab答案 4

解析 ∵a，b∈R，ab>0，

a4＋4b4＋14a2b2＋11∴≥＝4ab＋≥2

ababab22

?a＝2b，

1

4ab·＝4，

ab当且仅当?1

4ab＝，?

??

ab

2

?a＝，?2即?

2b＝??4

22

时取得等号．

a4＋4b4＋1

故的最小值为4.

ab押题预测

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1．已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )

xyA．3 C．4

7B. 29D. 2

押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合． 答案 C

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