2020年高考数学(文)二轮专项复习专题06 平面向量

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题卷/学霸笔记）

(Ⅱ)由｜a｜＝｜b｜知，sin2??＋(cos??－2sin??)2＝5，所以1－2sin2??＋4sin2??＝5． 从而－2sin2??＋2(1－cos2??)＝4，即sin2??＋cos2??＝－1， 于是sin(2??π2)??

24ππ9ππ5ππ7π，所以2???，或2??? ?2???4444444π3π因此??，或??．

24又由0＜??＜?知，

例6 设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( ) (A)－2

(B)2?2

(C)－1

(D)1?2

【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口

解：∵a，b，c是单位向量，

∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2

?1?2?1?cos〈a?b,c〉?1?2

故选D．

例7 在△ABC，已知2AB?AC?3|AB|.|AC|?3BC2，求角A，B，C的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c

由2AB?AC?3|AB|?|AC|得2bccosA?又A∈(0，?)，因此A?3bc，所以cosA?3 2π 62由3|AB|?|AC|?3BC得bc?所以sinC?sin(3a2，于是sinC?sinB?3sin2A?3 45π3133?C)?,sinC?(cosC?sinC)?，因此

42462π2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，即sin(2C?)?0

3π5πππ4π由A?知0?C?，所以?,2C??，从而

66333πππ2π2C??0，或2C??π，即C?，或C?，故

6333π2ππππ2πA?,B?,C?，或A?,B?,C??

636663【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形

等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．

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练习6－1

一、选择题

1．平面向量a，b共线的充要条件是( ) A．a，b方向相同

B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．???∈R，b＝??a

D．存在不全为零的实数??1，??2，??1a＋??2b＝0

2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，??a＋b与a垂直，则??是( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2

3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC?2AD，则顶点D的坐标为( ) A．(2,)

72B．(2,?)

12C．(3，2) D．(1，3)

4．设△ABC的三个内角A，B，C，向量m?(3sinA,sinB),n?(cosB,3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( ) A．

π 6B．

π 3C．

2π 3D．

5π 6二、填空题

5．设a＝(2k＋2，4)，b＝(8，k＋1)，若a与b共线，则k值为______． 6．已知向量OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?AB，则 m＝______． 7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP?1MN，则P点坐标为______． 28．已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，则a和b的夹角是______． 三、解答题

9．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值．

10．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10．

(1)求向量a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)a．

11．若向量a与b的夹角为60°，｜b｜＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，求向量a的模．

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§6－2 向量的应用

【知识要点】

1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；

3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】

会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．

AB，求证三角形ABC是正三角形， 例1若AB?BC?BC?CA?CA·【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某

些判定的结论．

证明AB?BC?BC?CA?BC?(AB?CA)?BC?(AB?AC)?0，即BC与BC边上的中线垂直，所以AB＝AC，同理BC＝BA，可以得到该三角形是等边三角形；

例2 已知四边形ABCD中，若AB?BC?BC?CD?CD?DA?DA?AB，判断四边形ABCD的形状．

【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究．

解答1从几何意义上设AB?BC?BC?CD?CD?DA?DA?AB?k

若k＞0，则∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k＜0时，也不可能，故k＝0，即四边形ABCD为矩形．

解答2从运算上，AB?BC?BC?CD?BC?(AB?CD)?BC?(AB?DC)?0 同理；CD?DA?DA?AB?DA?(CD?AB)?AD?(AB?DC)?0 于是AD//BC，同理AB//CD，得到四边形ABCD是平行四边形；

∴AB?BC?BC?CD?BC?(AB?CD)?BC?(AB?DC)?BC?2AB?0 ∴AB?BC，∴四边形ABCD为矩形．

【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．

例3 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m?(3,?1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，求角A，B的大小．

【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A角的三角方程，从而求出三角形的内角A，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等

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题卷/学霸笔记） 知识求三角形的其余内角．

解：∵ m?n?m?n?3cosA?sinA?0，即tanA?3，∴三角形内角A?π; 3∵acosB＋bcosA＝csinC，∴sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，sinC＝1，

C?π, 2∴B?π? 61OA?OBAB、OM?等都说明M是22【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行

、AM?考查，常见的有中点的表达(比如AM?MBAB中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表

达的信息．

例4 已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

(1)若AB?AC?0，求c的值；

(2)若c＝5，求sin∠A的值．

【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积AB?AC求出cosA进而求sinA；②余弦定理正弦定理

解：(1)AB?(?3,?4),AC?(c?3,?4) 由AB?AC?0可得－3(c－3)＋16＝0解得c?25 3(2)[法一]当c＝5时，可得AB＝5，AC?25，BC＝5，△ABC为等腰三角形， 过B作BD⊥AC交AC于D，可求得BD?25故sinA?BD25?,

5AB[法二]AB?(?3,?4),AC?(2,?4),?|AB||AC|cosA?AB?AC.

?5?25cosA??6?16?cosA?525,?A?[0,π],?sinA?? 55【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使

用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．

例5 若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM?12CB?CA，则 63地方的辅导