双曲线的简单几何性质练习题

课时作业(十一)

[学业水平层次]

一、选择题

1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( ) y2x2

A.18－18＝1 x2y2

C.8－8＝1

x2y2

B.18－18＝1 y2x2

D.8－8＝1

x2y2

【解析】 设等轴双曲线方程为a2－a2＝1(a＞0)， x2y2

∴a＋a＝6，∴a＝18，故双曲线方程为18－18＝1.

2

2

2

2

【答案】 B

y2

2．(2014·天水高二考试)已知双曲线方程为x－4＝1，过P(1,0)

2

的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

2

y

【解析】 因为双曲线方程为x2－4＝1，所以P(1,0)是双曲线的

右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.

【答案】 B

x2y23．(2014·大纲全国卷)双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )

A．2 B．22 C．4 D．42

c13

【解析】 由已知得e＝a＝2，所以a＝2c，故b＝c2－a2＝2b

c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±ax＝±3x，由焦点到渐近线的距3

离为3，得2c＝3，解得c＝2，故2c＝4，故选C.

【答案】 C

x2y2

4．(2014·广东高考)若实数k满足0

5－kx2y2

曲线－＝1的( )

16－k5

A．实半轴长相等 C．离心率相等

B．虚半轴长相等 D．焦距相等

x2y2

【解析】 若00,16－k>0，故方程16－＝1

5－k表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，21－kx2y2焦距2c＝221－k，离心率e＝4；同理方程－＝1也表

16－k5示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，21－k

焦距2c＝221－k，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选

16－kD.

【答案】 D 二、填空题

x2

5．(2014·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线m－y2

＝1的离心率为5，则m的值为________． m2＋4

【解析】 ∵c2＝m＋m2＋4，

22

m＋m＋4c2

∴e＝a2＝＝5， m

∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2. 【答案】 2

x2y26．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：9－16＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

【解析】 由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.

【答案】 44

x2y27．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

【解析】

?x－3y＋m＝0，

由?b?y＝ax，

得点A的坐标为

?ambm?

，??， ?3b－a3b－a?

?x－3y＋m＝0，由?b?y＝－ax，

?－ambm?

?， ，得点B的坐标为?

3b＋a3b＋a??

?am3bm?

则AB的中点C的坐标为?9b2－a2，9b2－a2?，

??

22

1

∵kAB＝3，

3b2m9b2－a2∴kCP＝a2m＝－3，

－m

9b2－a23b222

即222＝－3，化简得a＝4b， a－?9b－a?即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2， 55∴e2＝4，∴e＝2. 5

【答案】 2 三、解答题

x2y2

8．双曲线与椭圆16＋64＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．

x2y2

【解】由椭圆16＋64＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y＝x， y2x2

∴设双曲线方程为a2－a2＝1. 又c2＝2a2＝48，∴a2＝24. y2x2

∴所求双曲线的方程为24－24＝1. 由a2＝24，c2＝48，

2c

得e2＝a2＝2，

又e>0，∴e＝2.