（课标通用）高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布大题冲关理

3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)．

附：K＝

2

a＋bnad－bc2c＋da＋c0.100 2.706 b＋d0.050 3.841 ，n＝a＋b＋c＋d. 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 P(K2≥k0) k0 解：(1)2×2列联表如下： 男 女 总计 非读书迷 40 20 60 2读书迷 15 25 40 总计 55 45 100 100×40×25－15×20K＝60×40×55×45

2

≈8.249＞6.635，

故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．

2

(2)将频率视为概率，则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P＝. 5

?2?由题意可知，X～B?3，?， ?5?

i3－iP(X＝i)＝Ci(i＝0,1,2,3)． 3?????5??5?

?2??3?X的分布列为

X P 26均值E(X)＝np＝3×＝，

55

2?2?18

方差D(X)＝np(1－p)＝3××?1－?＝.

5?255?

热点二 常见概率模型的概率计算

0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125

几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点．几何概型主要以客观题形式考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．

[典题2] 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量

ξ的分布列．

12

[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.

33设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．

i?1?i?2?4－i则P(Ai)＝C4????.

?3??3?

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率

22

P(A2)＝C2. 4????＝

?3??3?27

?1??2?

8

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3

＋A4，且A3与A4互斥，

∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4) 24?1?413?1?3

＝C4??×＋C4??＝. ?3?3?3?9

(3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4， 8

则P(ξ＝0)＝P(A2)＝，

27

P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)

2401?1?1?2?33?1?3

＝C4????＋C4??×＝，

?3??3??3?381

P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)

170?2?44?1?4

＝C4??＋C4??＝.

?3??3?81所以ξ的分布列为 ξ P 0 8 272 40 814 17 81

1．本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参

i?1?i?2?4－i加甲游戏的概率P＝C4????，这是本题求解的关键．

?3??3?

2．解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0,2,4的事件转化为相应的互斥事件的概率和．

A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16； B组：12,13,15,16,17,14，a.

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率． 解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”， 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7. 1

由题意可知，P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.

7

(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，记为事件A，且A＝A5∪A6∪A7.

由互斥事件的概率公式，

3

则P(A)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.

7

(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，

C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.

因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋

P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.

热点三 离散型随机变量的 分布列、均值与方差

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