（课标通用）高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布大题冲关理

第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布

高考中概率与统计问题的热点题型

1．概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．

2．概率问题的核心是概率计算．其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年新课标全国卷突出回归分析的考查．

3．离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．

热点一 统计与统计案例

能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择题或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查．

[典题1] 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

学生 数学成绩x(分) 物理成绩y(分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93 (1)要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；

(2)根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关关系，请说明理由．

参考公式：

n? xi－xi＝1

yi－y；

n2

相关系数r＝

n? xi－xi＝1

? yi－y2

i＝1

^^^

回归直线的方程是y＝bx＋a，其中

n? xi－x^

i＝1

yi－y^^

，a＝y－bx；

b＝

n? xi－xi＝1

2

5

2

5

2

5

参考数据：x＝93，y＝90，? (xi－x)＝40，? (yi－y)＝24，? (xi－x)(yii＝1

i＝1

i＝1

－y)＝30，40≈6.32，24≈4.90.

[解] (1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，

A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种情况．

其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共7种情况，故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于907

分的概率为.

10

(2)变量y与x的相关系数是r＝

≈0.97.

40×2430

可以看出，物理成绩与数学成绩高度正相关．散点图如图所示：

从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩正相关．

^^^^30^

设y与x的线性回归方程是y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出b＝＝0.75，a＝

4090－0.75×93＝20.25，

^

所以y与x的线性回归方程是y＝0.75x＋20.25.

1．求解线性回归方程时，要熟悉公式中每个量的实际含义，要有很强的计算能力，运算时要细心，一个数据错误，将会导致整个求解的错误．

2．对于非线性回归方程，可利用换元的方式化为线性回归方程来求解，然后再写成非线性回归方程的形式．

[2017·河北石家庄模拟]4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？ 男 女 总计 非读书迷 读书迷 15 总计 45 (2)将频率视为概率．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取