随机变量及其分布教学设计（8份打包） 人教课标版5（优秀教案）

2.3.1 离散型随机变量的均值

上课时间： 班级： 教学内容分析：

离散型随机变量的均值是刻画随机变量取值的平均水平的指标，教学中，要把重点放在用均值解决实际问题上，在解决实际问题的过程中理解均值的含义 学情分析：

学生已学习分布列以及正确求解事件的概率，具有一定的学习基础 教学目标 ：

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望；

过程与方法：理解公式“（ξ）ξ”，以及“若ξ（），则ξ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望；

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值 教学重点与难点

重点：离散型随机变量的均值或期望的概念；

难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望； 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学方法： 分析法，讨论法，归纳法 教学过程：

一、复习引入：

、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是

kPn(??k)?Cnpkqn?k，（＝,…，，q?1?p）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

00nCnpq

… …

nn0Cnpq

11n?1Cnpq … kCnpkqn?k …

kkn?k称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～(，)，其中，为参数，并记Cnpq＝(；，)

二、讲解新课：

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

ξ

在次射击之前，可以根据这个分布列估计次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在次射击中，预计大约有

P(??4)?n?0.02n 次得环； P(??5)?n?0.04n 次得环；

…………

P(??10)?n?0.22n 次得环．

故在次射击的总环数大约为

4?0.02?n?5?0.04?n???10?0.22?n

?(4?0.02?5?0.04???10?0.22)?n，

从而，预计次射击的平均环数约为

4?0.02?5?0.04???10?0.22?8.32．

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ我们可以同样预计他任意次射击的平均环数:

的分布列，即已知各个P(??i)（，，，…，），

0?P(??0)?1?P(??1)?…?10?P(??10)．

、 均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ … … … … 则称 E(?)?x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

、均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

、平均数、均值:

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有p1?p2?…

?pn?11，E(?)?(x1?x2?…?xn)?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 nn

、均值或期望的一个性质:

若??a??b(、是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ η … … … … … … ax1?b ax2?b axn?b 于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2?…?(axn?b)pn?… ＝a(x1p1?x2p2?…?xnpn?…)?b(p1?p2?…?pn?…)

＝aE??b，

由此，我们得到了期望的一个性质:E(a??b)?aE??b 、若ξ（），则（ξ） 证明如下：

kkn?kkkn?k?Cnpq， ∵P(??k)?Cnp(1?p)00n11n?122n?2kkn?knn0∴E??×Cnpq＋×Cnpq＋×Cnpq＋…＋×Cnpq＋…＋×Cnpq．

又∵kCn?k?kn!n?(n?1)!k?1??nCn?1，

k!(n?k)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!∴

E??00n?111n?2k?1k?1(n?1)?(k?1)np(Cn＋Cn?1pq＋…＋Cn?1pq＋…＋?1pqn?1n?10Cnq)?np(p?q)n?1?np． ?1p故 若ξ～(，)，则E??

、讲解范例：

例、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得分，罚不中得分，已知他命中的概率为，求他罚球一次得分?的期望

解：因为P(??1)?0.7,P(??0)?0.3，所以E??1?0.7?0?0.3?0.7

总结：若服从两点分布，则()

例、 一次单元测验由个选择题构成，每个选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得分，不作出选择或选错不得分，满分分学生甲选对任一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是?,?，则? （）,?~B(20,0.25),?E??20?0.9?18,E??20?0.25?5

由于答对每题得分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是?和?所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

E(5?)?5E(?)?5?18?90,E(5?)?5E(?)?5?5?25

例、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失元。为保护设备，有以下种方案： 方案：运走设备，搬运费为元。

方案：建保护围墙，建设费为元，但围墙只能挡住小洪水。 方案：不采取措施，希望不发生洪水。

试比较哪一种方案好 、课堂练习：

、随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

ξ

所以

1 61 61 61 61 61 6E??×

111111＋×＋×＋×＋×＋× 6666661＝(＋＋＋＋＋)×＝．

6抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值

、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是,若枪内只有颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)

、某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数ξ的分布列为：

ξ

商场经销一件该商品，采用期付款，其利润为元，分期或期付款，其利润为元，分期或期付款，其利润为元，η表示经销一件该商品的利润。

（）求事件：”购买该商品的位顾客中，至少有一位采用期付款” 的概率()； （）求 η的分布列及期望

三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容． )、随机变量的均值；

）、随机变量的均值的性质； 四、作业布置：校内作业册 五、板书设计:

课堂练习 均值（数学期望） 例：

数学期望的公式 例

例

课后反思：

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。