第六章 二次型总结

第六章 二次型（一般无大题）

基本概念

1. 二次型: n个变量x1,x2,,xn的二次齐次函数

f(x1,x2,,xn)?a11x12?2a12x1x2?2a13x1x3??ax?2a23x2x3?2222?2a1nx1xn?2ax2nnn?2a2nx2xn?

称为n元二次型,简称二次型. 其中aij?aji,则

f(x1,x2,2,xn)?a11x1?a12x1x2?a13x1x3?2?a21x2x1?a22x2?a23x2x3??a1nx1xn?a2nx2xn2?annxn??an1xnx1?an2xnx2?2an3xnx3???x1?a11?axn??21???an1a12a22an2a1n??x1???a2n???x2???????ann??xn?

x2?xTAxT因此，二次型也记f?XAX,A称为二次型f的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A的秩称为二次型的秩，记作R（f）=R（A）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p书126例6.1）

2.合同矩阵的定义及性质

2.1合同矩阵定义 设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CAC?B，则称

T矩阵A与B合同，记A?B.实对称矩阵A与B合同的充要条件是二次型xTAx与xTBx有相同的

正,负惯性指数.(A的正, 负惯性指数：A的特征值的个数)

合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即A?ETAE；

（2）对称性，即若B?CTAC，则有A??C?1?BC?1；

T（3）传递性，若A1?C1TAC1和A2?C2TAC12，则有A2??C1C2?A?C1C2? 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.

在数域P中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.

2.2 合同矩阵的性质

T性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

性质2 在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.

例2 设A,B均为数域F上的n阶矩阵,若A,B合同，则r?A??r?B?,反之，若

r?A??r?B?,问在F上是否合同？

证 若A与B合同，即存在可逆矩阵C，使B?CTAC.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A与B有相同的秩.

?10?反之，若r?A??r?B?，则A与B在F上不一定合同.例如，方阵A=??，

01??11?的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. B=????01?A1例3 设=A???00??B1，=B??A2??00?，证明：如果A与B合同，A与B合同，则A2211?B2?与B合同.

证 由于A1与B1合同，A2与B2合同，故存在满秩矩阵C1，C2，使得B1?C1TA1C1，

B2?C2TA2C2，于是令C??C1??00?，则有B?CTAC?C2?，即A与B合同.

2．3 合同矩阵的判定

定理1 两复数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件

定理1 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A，B既相似又合同. 定理2 若n阶矩阵A，B中有一个是正交矩阵，则AB与BA相似且合同.

A定理3 若A与B相似且合同，则?C与D相似且合同，??00??B?与?C??00?相似且合同. ?D?例

?410??400??220?5 已知A=?040?，B=?041?，C=?220?，试判断A，B，C中哪些矩阵

???????000??004??002???????相似，哪些矩阵合同？

分析 矩阵A的秩和矩阵B,C的秩不等，则A不可能与B，C相似或合同，只有讨论B， C了.

解 A的秩为3，而B，C的秩为2，故A和B，C既不相似又不合同.

又B的迹是8，而C的迹是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是对称矩阵，而B不是，所以，B和C也不合同.

所以，矩阵A，B，C相互之间既不相似又不合同.

3.二次型的标准型, 规范性 rTTTTdiyi2称标准型: 二次型f(x1,x2,,xn)?xAx经过合同变换x?Cy化为f?xAx?yCACy?i?1为f的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由r(A)唯一确定)

222规范形: 任一实二次型f都可经合同变换化为规范形f?z1?z2??z2?zr2,其中r为p?zp?1?A的秩, p为正惯性指数，n?p为负惯性指数，且规范型唯一。 4.化二次型为标准型方法

(1) 配方法（任何二次型都可可由此化为标准型）

①如果二次型中至少含有一个平方项,不妨设a11?0,则对所有含有x1的项配方,经配方后所余各项中不再含有x1, 如此继续, 直至每一项都包含在各完全平方项中, 引入新变量y1,y2,,yn,由

22??dnyny?C?1x, 得xTAx?d1y12?d2y2

例：p书131例6.4

②如果二次型中不含平方项,只有混合项,不妨设a12?0, 则可令x1?y1?y2, x2?y1?y2,x3?y3,,xn?yn,然后按①的方法继续做. 例：p书131例6.5

(2) 正交变换法

设A是n阶实对称矩阵, 按以下步骤进行: ① 求出A的全部特征值?1,?2,,?t.

② 对每个?i(i?1,2,,t),求出(?iE?A)x?0的一个基础解系?i1,?i2,,?is;

③ 将?i1,?i2,,?is正交化,单位化,得ri1,ri2,,ris,它是单位正交向量组,而且是的属于的?i线性无

关的特征向量.

④ 以r11,r12,,r1s,r21,r22,,r2s1, ri1,ri2,,rist列向量, 构造出正交矩阵T, T即为所求正交变

?1换矩阵,使TAT为对角矩阵.

⑤ 再利用正交变换x=Py，二次型可化为标准型f=?1y1^2+ ?2y2^2+…+ ?nyn^2,其中?i为对角矩阵

T?1AT的对角元素，也为A的全部特征值.因为对角矩阵的位置任意性，故二次型化为标准型的答案不唯一.

222例4 用正交变换化二次型f?x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3为标准形.

???1?1?22???|?I?A|?2A??24?4???2??2?44?? A的特征多项式为 解 f的矩阵为

2??44?24??2(??9)??4

A的特征值为?1?0（二重）, ?2??1?1E?A???2??9 ??22?44?2??1?4????0??4???0?2002?0??0??

TT??(0, 1, 1), ??(4, 1, ?1)?121可得A对应于的两个线性无关特征向量为

显然?1, ?2已经正交.

?8?2E?A???2???2254?2??2?4????0?5???0?4?90?5??9??0??

T??(1, ?2, 1)?32得A对于的特征向量为

将?1, ?2, ?3 作正交变换

?1?(0, 12, 12)T，

?2?(432, 132, ?132)T

，

?3?(, ?, )T132323

??x1??????x2?????????x3?????012124321321?321??3?2??3?2??3???y1????y2?????y3??

2f?9y3则 .

222f(x,x,x)?2x?3x?3x?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形123123例5 已知二次型22f?y12?2y2?5y3.

（1）求参数a及所用的正交变换矩阵；

2232x?3x?3x?2ax2x3?1表示什么曲面？ 123 （2）

解 二次型f的矩阵为

|?E?A|??2A??0???003a0?a??3??

???2000??3?a?aA的特征多项式为

??3?(??2)(?2?6??9?a2)

由题设可知A的特征值为?1?1,?2?2,?3?5

2将?1?1代入|?E?A|?0, 得a?4?0,a??2

因a?0, 故取a?2, 这时,

?2A??0???00320?2??3??.