2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.2 两条直线的位置关系

7.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________. 答案 1 (3,3)

解析 ∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，

??x＋y－6＝0，即a＝1，联立方程?

?x－y＝0，?

易得x＝3，y＝3，∴P(3,3).

8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________. 答案

34

5

解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线， 3＋n7＋m

＝2×－3，?2?2

于是?n－31

＝－?m－72，?34

故m＋n＝.

5

9.直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________. 答案 x－2y＝0

??y＝2x＋3，

解析 由?

?y＝x＋1，?

?

解得?31

n＝?5，3m＝，

5

解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k－1＝0.

在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得

|k－2＋2k－1||2－2＋3|

＝，

k2＋122＋1

1

解得k＝(k＝2舍去)，

2所以直线l2的方程为x－2y＝0.

10.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________. 答案 6x－y－6＝0

解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

b－4

1＝－1，??a－?－3?·

所以?－3＋ab＋4

??2－2＋3＝0，

解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)， y－0x－1所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

6－02－111.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).

(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于42.

(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，

???2x－y－6＝0，?x＝2，∴?解得? ??x－y－4＝0，y＝－2，??

故直线经过的定点为M(2，－2).

(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，

此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0， ∴M与Q不可能重合，而|PM|＝42， ∴|PQ|<42，故所证成立.

12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l275间的距离是.

10(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件： ①点P在第一象限；

1

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

2

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.

1

解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝2＝，

22＋?－1?210

?a－?－1??

??2??75

所以?a＋1?

?2?75

5＝17a＋?＝， ，即??2?210

又a>0，解得a＝3.

(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).

若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，

且

?c＋1?

|c－3|1?2?

＝25

1311

，即c＝或，

265

1311

所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；

26若P点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有

|2x0－y0＋3|2|x0＋y0－1|＝， 552

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；

由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能. 13

联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

2x＝－3，??0

解得?(舍去) 1

y＝，0?2?

11

联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

6

?解得?37

y＝?18.

0

1x0＝，

9

137?

所以存在点P??9，18?同时满足三个条件.

13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为( ) A.(－2,4) C.(2,4) 答案 C

y－2??x＋4×2＝－1，

的对称点为(x，y)，则?y＋2－4＋x

＝2×，??22B.(－2，－4) D.(2，－4)

解析 设A(－4,2)关于直线y＝2x

解得

?x＝4，?

? ?y＝－2，?

－2－1∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，

4－3

即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)， 3－2

∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，

－1－?－4?即x－3y＋10＝0.

?3x＋y－10＝0，?x＝2，??联立?解得?

??x－3y＋10＝0，y＝4，??

则C(2,4).故选C.

14.(2018·赤峰质检)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( ) A.5 B.6 C.23 D.25 答案 A