2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.2 两条直线的位置关系

即2x－3y－9＝0.

妙用直线系求直线方程

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系. 一、平行直线系

例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 解 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)， 又因为直线过点(1,2)，

所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. 二、垂直直线系

例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.

解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2,1)，

所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0， 即所求直线方程为x－2y＝0. 三、过直线交点的直线系

例3 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.

解 方法一 将直线l1，l2的方程联立，

???3x＋2y－1＝0，?x＝－1，得?解得? ??5x＋2y＋1＝0，y＝2，??

即直线l1，l2的交点为(－1,2).

3

由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，

55

所以直线l的斜率为－，

3

5

则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，

3即5x＋3y－1＝0.

方法二 由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，

???3x＋2y－1＝0，?x＝－1，得?解得? ?5x＋2y＋1＝0，???y＝2，

即直线l1，l2的交点为(－1,2)，则点(－1,2)在直线l上， 所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1， 所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.

方法三 设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.

1由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝，

5所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.

1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( ) A.平行 C.相交但不垂直 答案 C

1

解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且

2k1k2≠－1. 故选C.

2.若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A

1

解析 由log6m＝－1得m＝，若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直

61

线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1

6＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件.故选A.

3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( ) A.－10 B.－2 C.0 D.8 答案 A

解析 因为l1∥l2，所以kAB＝解得m＝－8.

4－m

＝－2. m＋2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.垂直 D.不能确定

又因为l2⊥l3， 1

所以－×(－2)＝－1，

n解得n＝－2，所以m＋n＝－10.

4.过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( ) A.2x－y＋8＝0 C.x＋2y＋4＝0 答案 D

1

解析 方法一 因为直线x＋2y－9＝0的斜率为－，

21

所以与直线x＋2y－9＝0平行的直线的斜率为－，

2又所求直线过M(－3,2)，

1

所以所求直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋3)，

2化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.

方法二 由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.

5.(2018·盘锦模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )

4282A. B.42 C. D.22

33答案 C

解析 ∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0， ∴

1a6

＝≠，解得a＝－1， a－232a

B.x－2y＋7＝0 D.x＋2y－1＝0

2

∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，

3

∴l1与l2的距离d＝

?6－2??3?82

2＝3

.

6.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 ( ) A.(0,4) C.(－2,4) 答案 B

解析 直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2).

B.(0,2) D.(4，－2)