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1

y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).

2

而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.

∵两直线的交点在第一象限，

∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k需满足kPA

∵kPA＝－，kPB＝.

6211

∴－

62

4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________________. 278

，－? 答案 (1，－4)或?7??7解析 设点P的坐标为(a，b). ∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2). 而AB的斜率kAB＝

－3＋1

＝－1， 4－2

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.① 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴

|4a＋3b－2|

＝2，即4a＋3b－2＝±10，②

42＋32

?a＝1，?

由①②联立解得?或

?b＝－4?

?

?8?b＝－7.

27a＝，7

278，－?. ∴所求点P的坐标为(1，－4)或?7??7思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法

先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.

(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.

题型三 对称问题

命题点1 点关于点中心对称

例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________. 答案 x＋4y－4＝0

解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 命题点2 点关于直线对称

例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )

A.33 B.6 C.210 D.25 答案 C

解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.

命题点3 直线关于直线的对称问题

例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________. 答案 x－2y＋3＝0

解析 设所求直线上任意一点P(x，y)， 则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， ?由?x＋x0?2－y＋y02＋2＝0，

得???x0＝y－2，??x－x?0＝－?y－y0?，

?y0＝x＋2，

由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0.

思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称

①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足???x′＝2a－x，

??

y′＝2b－y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，有

则

n－b?A???m－a×?－B?＝－1，?a＋mb＋n??A·2＋B·2＋C＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 跟踪训练2 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A对称的直线l′的方程. 解 (1)设A′(x，y)， y＋22

＝－1，?3?x＋1·则?x－1y－2

2×－3×＋1＝0，??22

?解得?4

y＝?13，33x＝－，

13

334－，?. 即A′??1313?

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上. 设对称点为M′(a，b)， a＋2b＋0

2×－3×＋1＝0，?2?2则?b－02??a－2×3＝－1，

?a＝13，解得?30

b＝?13，

6

630?即M′??13，13?.

??2x－3y＋1＝0，

设m与l的交点为N，则由?

??3x－2y－6＝0，

得N(4,3).又m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.

易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

方法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，