2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.2 两条直线的位置关系

1

解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，

2

则两平行线间的距离为d＝

?2－1?

?2?32

2＝

4

. 7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 答案 0或1

解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.

题型一 两条直线的平行与垂直

例1 (2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行； (2)当l1⊥l2时，求a的值.

解 (1)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；

a

当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，

21

l2：y＝x－(a＋1)，

1－a

a1??－2＝1－a，l1∥l2??解得a＝－1，

??－3≠－?a＋1?，

综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行. 方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0， 得a(a2－1)－1×6≠0，

??a?a－1?－1×2＝0，

∴l1∥l2??2

?a?a－1?－1×6≠0，?

2??a－a－2＝0，

??2可得a＝－1， ?a?a－1?≠6，?

故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行. (2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2， 故a＝0不成立； 当a≠1且a≠0时，

a1l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，

21－aa12－?·由?＝－1，得a＝. ?2?1－a3

方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0， 2可得a＝.

3

思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( ) 3A.－

2

B.0

3

C.－或0

2答案 C

D.2

a＋1－a3

解析 若a≠0，则由l1∥l2?＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.

12a2(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.

①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 ①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，

又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.

②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在. a

∴k1＝k2，即＝1－a.

b

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数， 4即＝b. b

2

故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

3

题型二 两直线的交点与距离问题

1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )

2233A.－ B. C.－ D.

3322答案 A

解析 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得k－6－6k＋1?2

＋1，1?，N?M?.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k??k??k－1，k－1??2＝－. 3

2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( ) 9182929A. B. C. D. 55105答案 C

34－12解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由

685题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即

|－24－5|2929

＝，所以|PQ|的最小值为. 1062＋8210

1

3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是

2________. 11－，? 答案 ??62?y＝kx＋2k＋1，??

解析 方法一 由方程组? 1

y＝－x＋2，?2?2－4k

x＝??2k＋1，解得?6k＋1

y＝??2k＋1.

1

(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)

2∴交点坐标为?

?2－4k，6k＋1?.

??2k＋12k＋1?

2－4k??2k＋1>0，

又∵交点位于第一象限，∴?6k＋1

??2k＋1>0，11

解得－

62

方法二 如图，已知直线