巧解数字串问题

巧解数字串问题

珠海市斗门区二中 周健良 (邮编519100)

一、猜想——验证，用通式揭示规律

例1 一串有规律填数：0，3，8，15，…….试写出第2005个数. 分析 猜想：每一项的数是这个项数的平方小1.可以验证：12-1=0，22-1=3，32-1=8，42-1=15.

解:∵0=12-1， 3=22-1， 8=32-1， 15=42-1,

∴第n个数是n2-1.由此可见, 第2005个数是20052-1=4020024. 例2.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这一组数叫做三角形数，它有一定的规律性，则第2005个三角形数是 . 分析 第1 个数是1=1；第2个数是3=1+2；第3个数是6=1+2+3；第4个数是10=1+2+3+4；…；可以用通式表示其蕴含的规律.

解：∵1=1；3=1+2；6=1+2+3；10=1+2+3+4；…

n(n?1). 22005(2005?1)?2011015. 故此,第2005个三角形数是

2∴第n个数为1+2+3+4+…+n=

例3. 观察下面各组勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、（11，60，61）、…. 试写出其中一组勾股数( 101, , ).

解:可以看出,每组勾股数中第2个与第1个的关系:

32?152?172?192?1112?14?,???. ,12?,24?,40?,60?22222k2?1k2?1

设第1个勾股数是k时，则第2个勾股数是,而第3个是.

22

22101?1101?1?5100与?5101. 所求的勾股数分别为:22二、分组，从中找规律

例4 .观察按下列规则排成的一列数：

2123123412345111，，，，，，，，，，，，，，，，… 2113214321543216从左起第2005个是 .

分析 分组:(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),(,???),??? 1213214321543216. 可以看出:第1组有1个数,第2组有2个数,第3组有3个数,…

1121231234123451

第n组有n个数,

1121231234123451解：原数列分组(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),(,???),??? 1213214321543216

n(n?1)由此可知，前n组共有分数的个数为：1+2+3+…+n= 262?6363?64 因为 ＜2005＜ , 2262?63所以第2005个数落在第63组里. 位于该组里的第（2005 - ）个数 252于是，所求的数是.

11例5. 按一定规律排列的一串数 中,第98个数是 . 解：分组

1123123451234567(),(?,,?),(,?,,?,),(?,,?,,?,?),???1333555557777777由此可见:第1组有1个数, 第2组有3个数, 第3组有5个数,… ,第n 组有（2n-1）个数,前n组一共有1+3+5+7+…+(2n-1)=n2个数.第n组的分母是2n-1.

因为92＜98＜102,所以该分数的分母是2×10-1=19. 又因为98-9=17, 所以该分数的分子是17.于是得到所求的数是 ?2

三、运用同余原理，列表找周期

的和,那么,数串第2005个被3除所得的余数是 . 17.19例6.已知数串1，1，2，3，5，8，13，…,从第三个起,每个数是前面相邻两个数分析 将数串中各数与被3除所得的余数列成表，观察规律找周期。 解：依题意列表 数串 被3除的余数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 … 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 … 从表中可以看出，被3除所得的余数中，出现的周期是8。而2005被8除所得的余数是5，所以，数串第2005个被3除所得的余数是2。

例7.一列数1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个不同的3的幂的和.此数列中第100项是 .

分析 利用数的进制转换，列表对照，探索其中规律. 解:将1，3，4，9，10，12，13，…写成三进制,列表为

第n项an 1 3 4 9 10 12 13 … 三进制的an 1 10 11 100 101 110 111 … 观察上表发现，如果把这些三进制数看成二进制数，将其化为二进制就可得到连续自然数1，2，3，…，这一串连续的自然数与已知一列数中的项数相对应.

∵100=1100100（2），1100100（3）=981. ∴原来一列数中的第100项是981.

例8.在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30中，相邻若干个数之和能被11整除的分为一组，则这样的组数共有 组. 分析 运用同余原理，用11除各个数，把原数列化简.

解：依次列出原数列中各数被11除的余数：1，4，-3，-1，5，-3，-1，3，-3， 可知①4+（-3）+（-1）=0，②（-3）+（-1）+5+（-3）+（-1）+3=0，③（-1）+5+（-1）+（-3）=0，④（-1）+5+（-1）+3+（-3）=0，⑤3+（-3）=0.

于是，所求的组数共有5组.