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可得cosα﹣sinα=，平方可得sin2α+cos2α﹣2cosαsinα=即为2cosαsinα=1﹣

=

，（cosα＞0，sinα＞0），

，

由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα=即有sinα=，cosα=． 则t=sin2α=

；

，即有4cosαsinα+sin2α=1，

==，

（2）若t=1，且

即有4cosαsinα=1﹣sin2α=cos2α，

由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα=

=，

则tan2α===，

=

==．

17．（14分）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为BAC=θ．

（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；

（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

平方米，设∠

【解答】解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍， ∴

（

）2=3×

（

）2，∴AB=

AC，

∵S△ABC=∴AC2=

，∴AB2=

=

AC2sinθ=400，

，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ=∴BC=40

．

，

，

时，f′（θ）＞0， ，π）上单调递增，

，

（2）设表演台的造价为y万元，则y=120设f（θ）=∴当0

（0＜θ＜π），则f′（θ）=时，f′（θ）＜0，当）上单调递减，在（

∴f（θ）在（0，∴当θ=

时，f（θ）取得最小值f（）=1，

∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且（1）求椭圆的离心率；

（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．

．．

的右顶

【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M=（﹣a，b），∵∴

+

．

=﹣b2，化为：a=2b．

=

．

．

∴椭圆的离心率e===．

（2）证明：由a=2，可得b=1， ∴椭圆的标准方程为：

+y2=1，A（2，0），B（0，1）．

直线BC的方程为：y=k2x+1，联立，化为：（1+

）x2+8k2x=0，

解得xC=，∴yC=．即C（，）．

直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），联立

，化为：

x2﹣

16x+﹣4=0， ，解得xD=

，yD=

，可得D（

，

）

∴2xD=

∴kCD=化为：1﹣16∴

∴k1k2=．

=﹣，

+2k1﹣2k2+8

﹣8

=0．

（4k1k2﹣2k1+2k2+1）=0，

19．（16分）已知常数p＞0，数列{an}满足an+1=|p﹣an|+2an+p，n∈N*． （1）若a1=﹣1，p=1， ①求a4的值；

②求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求

的取值范围．

【解答】解：（1）①∵an+1=|p﹣an|+2an+p， ∴a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1， a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3， a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9，

②∵a2=1，an+1=|1﹣an|+2an+1， ∴当n≥2时，an≥1，

当n≥2时，an+1=﹣1+an+2an+1=3an，即从第二项起，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，

∴数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an=﹣1+显然当n=1时，上式也成立， ∴Sn=

﹣；

=

﹣，（n≥2），

（2）∵an+1﹣an=|p﹣an|+an+p≥p﹣an+an+p=2p＞0， ∴an+1＞an，即{an}单调递增． （i）当

≥1时，有a1≥p，于是an≥a1≥p，

．

∴an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an，∴

若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2as=ar+at，

即2×3s﹣1=3r﹣1+3t﹣1．（*） ∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1=

＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数

列{an}中不存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列． （ii）当＞p．

于是当n≥2时，an≥a2＞p．从而an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an．∴an=3n

﹣2

时，有﹣p＜a1＜p．此时a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p

a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．

若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2as=ar+at，

同（i）可知：r=1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）=a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴

=2×3s﹣2﹣3t﹣2=

﹣

＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴

≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．

故此时数列{an}中不存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．