(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习理科附加题第3讲计数原理与二项式定理练习

第3讲 计数原理与二项式定理

课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角

1?n?1．记?2x＋?的展开式中第m项的系数为bm.

?x?

(1)求bm的表达式；

(2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n.

1?n??1?m－1n＋1－m·Cm－1·xn＋2－2m， m－1n－m＋1

解：(1)?2x＋?的展开式中第m项为Cn·(2x)·??＝2n?x??x?

所以bm＝2

n＋1－m·Cn.

m－1

1?n??1?r6－rr6－2rr6－r(2)当n＝6时，?2x＋?的展开式的通项为Tr＋1＝C6·(2x)·??＝2·C6·x.

?x??x?

依题意，6－2r＝0，得r＝3，

故展开式中的常数项为T4＝2·C6＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2

n－23

3

·Cn＝2·2

2n－3

·Cn，从而Cn＝Cn，即n＝5.

2

10

2

323

2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1.等式(x＋2x＋2)＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)＋…＋b20(x＋1)，其中bi(i＝0,1,2，…，20)为实常数．

1020

(1)求?b2n的值；

n＝1

10

(2)求?anb2n的值．

n＝1

解：法一：(1)令x＝－1，得b0＝1，

令x＝0，得b0＋b1＋b2＋…＋b20＝2＝1 024，

令x＝－2，得b0－b1＋b2－b3＋…－b19＋b20＝2＝1 024，

10

10

10

所以?b2n＝b2＋b4＋b6＋…＋b20＝1 023.

n＝1

(2)对等式两边求导，得

20(x＋1)(x＋2x＋2)＝b1＋2b2(x＋1)＋3b3(x＋1)＋…＋20b20(x＋1)， 令x＝0，得b1＋2b2＋…＋20b20＝20×2＝10 240，

令x＝－2，得b1－2b2＋3b3－4b4＋…＋19b19－20b20＝－20×2＝－10 240， 1

所以?nb2n＝(2b2＋4b4＋6b6＋…＋20b20)＝5 120.

2n＝1

10

9

9

2

9

2

19

- 1 -

10101010

所以?anb2n＝? (n＋1)b2n＝?nb2n＋?b2n＝5 120＋1 023＝6 143.

n＝1

n＝1

n＝1

n＝1

法二：由二项式定理易知 (x2

＋2x＋2)10

＝[1＋(x＋1)2]10

＝C0

1

2

2

4

10＋C10(x＋1)＋C10(x＋1)＋…＋C10

20

10(x＋1) ＝b2

20

0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)＋…＋b20(x＋1)， 比较可知bn2n＝C10(n＝1,2，…，10)．

10

(1)?b1

2

10

10

2n＝C10＋C10＋…＋C10＝2－1＝1 023.

n＝1

(2)因为an＝n＋1,

10

10

10

10

所以?annnnb2n＝? (n＋1)C10＝?nC10＋?C10，

n＝1

n＝1

n＝1

n＝1

10

设T＝?nCn0

1

2

10

10＝0·C10＋1·C10＋2·C10＋…＋10·C10，T也可以写成

n＝1

10

T＝?nCn0

10＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C10，

n＝1

相加得2T＝10·210，即T＝5·210

，

10

10

10

所以?annb2n＝?nC10＋?Cn10

10

10＝5·2＋2－1＝6 143.

n＝1n＝1n＝1

3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C0112233C4＋C3C4＋C3C4＋C34

3C4. 【案例】考察恒等式(1＋x)5

＝(1＋x)2

(x＋1)3

左右两边x2

的系数． 因为右边(1＋x)2

(x＋1)3

＝(C0

1

22

03

12

2

3

2＋C2x＋C2x)(C3x＋C3x＋C3x＋C3)， 所以右边x2

的系数为C01

12

23

2

2

2C3＋C2C3＋C2C3，而左边x的系数为C5， 所以C01

12

23

2

2C3＋C2C3＋C2C3＝C5.

n(2)求证：? (r＋1)2

(Cr22n－1nn)－nC2n－2＝(n＋1)C2n.

r＝0

解：(1)考察恒等式(1＋x)7＝(1＋x)3(x＋1)4左右两边x3

的系数．

因为右边(1＋x)3

(x＋1)4

＝(C0

1

22

33

04

13

22

3

4

3＋C3x＋C3x＋C3x)·(C4x＋C4x＋C4x＋C4x＋C4)，所以右边x3

的系数为C01

13C4＋C3C2

23

34

4＋C3C4＋C3C4， 而左边x3

的系数为C3

7， 所以C01

12

23

34

3C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4＝C3

7.

- 2 -

n！?n－1?！(2)证明：由rCrn＝r·r！?n－r?！＝n·?r－1?！?n－r?！

＝nCr－1

n－1，

nnnn可得? (r＋1)2

(Cr)2n＝? (rCr)2

＋?2r(Cr)2＋? (Cr2

nnn)

r＝0

r＝0

r＝0

r＝0

nnn＝n2

? (C

r－1)2＋2n?C

r－1n－1

n－1

·Cr＋? (Cr2

nn).

r＝1

r＝1r＝0考察恒等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n左右两边xn的系数． 因为右边(1＋x)n(x＋1)n＝(C0

1

nn0n1n－1

n＋Cnx＋…＋Cnx)·(Cnx＋Cnx＋…＋Cnn)，

所以右边xn的系数为

nC00

11

nnr2

nCn＋CnCn＋…＋CnCn＝? (Cn)，

r＝0

而左边的xn的系数为Cn2n，

n所以? (Cr2

nn)＝C2n.

r＝0

n同理可求得? (Cr－12

n－1

n－1)＝C2n－2.

r＝1

考察恒等式(1＋x)2n－1

＝(1＋x)

n－1

(x＋1)n左右两边xn－1

的系数．

因为右边(1＋x)n－1

(x＋1)n＝(C01

n－1n－1

0n1n－1

n－1＋Cn－1x＋…＋Cn－1x)(Cnx＋Cnx＋…＋Cnn)，所以右边xn－1

的系数为

nC0

1

1

2

n－1Cnn－1Cn＋Cn－1Cn＋…＋Cn－1n＝?Cr－1

rn－1·Cn，

r＝1而左边的xn－1

的系数为Cn－1

2n－1，

n所以?Cr－1

rn－1

n－1·Cn＝C2n－1，

r＝1

n所以? (r＋1)2

(Cr22n－1

n)－nC2n－2

r＝0

＝n2Cn－1n－1n2n－1

2n－2＋2nC2n－1＋C2n－nC2n－2 ＝2nCn－1

n2n－1＋C2n ＝n(Cn－1

n－1

n2n－1＋C2n－1)＋C2n ＝n(Cn－1

nn2n－1＋C2n－1)＋C2n ＝nCnn2n＋C2n

- 3 -

＝(n＋1)C2n.

4．(2019·苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示．

n

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Cn，Cn，Cn，Cn不能构成等差数列．

解：(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数Cn，

krr＋1

r＋2

r＋3

k＝0,1,2，…，n组成．

Cnk3

如果第n行中有k＝＝，

Cnn－k＋14Cnk＋14

＝， k＋1＝

Cnn－k5

那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5， 解得k＝27，n＝62.

即第62行有三个相邻的数C62，C62，C62的比为3∶4∶5.

(2)证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得Cn，Cn，Cn，Cn成等差数列， 则2Cn＝Cn＋Cn，2Cn＝Cn＋Cn， 即＝

2n！

?r＋1?！?n－r－1?！

r＋1

rr＋2

r＋2

r＋1

r＋3

rr＋1

r＋2

r＋3

26

27

28

k－1

kn！n！

＋，

r！?n－r?！?r＋2?！?n－r－2?！

2n！

?r＋2?！?n－r－2?！

- 4 -